ECUE MATH : Compléments d'Analyse et Séries de Fourier

Code de l'ECUE : SLEM500

Ce cours appartient à UE MATH: Analyse et topologie (6 ECTS) qui contient 2 ECUE

Structure

PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES

Domaine disciplinaire

Mathématiques

Lieu d'enseignement

Campus Valrose

Niveau du cours

Licence 3

Semestre

Semestre impair

Langue

Anglais , Français

PRESENTATION

Ce cours est composé de trois parties largement indépendantes, présentant des notions essentielles en analyse. Certaines sont dans la continuité directe du programme de L2, et d’autres sont entièrement nouvelles.
- On commencera par revoir des notions avancées sur les séries : produit de Cauchy de séries, transformation d’Abel pour établir la convergence, estimation du reste d’une série convergente…
- On (re)verra ensuite les séries de Fourier et leurs propriétés. Contrairement à ce qui a été fait en L2, l’approche sera peu calculatoire, et on s’intéressera plutôt aux résultats de convergence abstraits, et à l’application des séries de Fourier à l’étude de la régularité de fonctions et à la résolution d’équations aux dérivées partielles.
- Enfin, on découvrira les propriétés de certaines « fonctions spéciales », qui sont omniprésentes en mathématiques : la fonction zeta de Riemann et la fonction Gamma.

Responsable(s) du cours

Maxime Ingremeau

Présentiel

12h de cours magistral
18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...

Savoir démontrer qu'une série est convergente, par exemple à l'aide du critère de Riemann.
Connaitre la différence entre série (ou intégrale) absolument convergente et convergente.
Savoir déterminer si une suite de fonction converge simplement ou uniformément.
Savoir manipuler les exponentielles complexes (par exemples, dans des calculs d'intégrales)

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...

Effectuer une transformation d'Abel pour montrer la convergence d'une série.
Déterminer un équivalent ou un encadrement du reste d'une série convergente (ou de la somme partielle d'une série divergente).
Choisir la définition des fonctions zeta et Gamma la mieux adaptée au problème considéré.
Déterminer le mode de convergence d'une série de Fourier à partir de la régularité de la fonction associée.
Calculer les coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
Effectuer le produit de Cauchy de deux séries.

CONTENU

Compléments d'analyse

Dans ce chapitre, nous verrons le lemme de Cesàro, la transformation d'Abel, le produit de Cauchy de séries, et l'estimation dse restes des séries.
Séries de Fourier

Aucune description
Fonctions spéciales

Aucune description

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Important

Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.