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Révisions de dérivées et primitives classiques, méthode du facteur intégrand et méthode de variation de la constante pour les équations scalaires
ECUE Equations différentielles 1
Code de l'ECUE : SLEMA501
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français
PRESENTATION
Le cours passe en revue un certain nombre de techniques de résolution explicite d'équations et de systèmes de petite dimension.
Tous les points d'algèbre linéaire nécessaires sont revus, de sorte qu'il n'y a pas vraiment de prérequis en algèbre linéaire
Les points plus théoriques comme le théorème de Cauchy-Lipschitz ne sont pas abordés, et seront traités dans le cours SLEMA502
Responsable(s) du cours
Jean-Francois Collet
Présentiel
- 16h de cours magistral
- 32h de travaux dirigés
PREREQUIS
Pas de prérequis
OBJECTIFS
A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
- Résoudre des systèmes linéaires à coefficients constants en dimension 2 ou 3 en diagonalisant ou trigonalisant la matrice
- Résoudre explicitement des équations différentielles scalaires par la méthode du facteur intégrant et variation de la constante
- Résoudre des équations à variables séparables
- Tracer le portrait de phase d'un système linéaire autonome en dimension 2
- Résoudre des équations scalaires de à coefficients constants en utilisant le polynome caratéristique
- Calculer l'exponentielle d'une matrice de petite taille
- Résoudre certaines équations scalaires à coefficients polynomiaux par la méthode des séries entières.
CONTENU
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1) Equations scalaires
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2) Systèmes linéaires diagonalisables
Révisions d'algèbre linéaire, et en particulier sur la diagonalisabilité des matrices
Résolution explicite dans le cas de n valeurs propres distinctes
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3) Systèmes en dimension 2 : le cas de deux valeurs propres complexes
Diagonalisation sur un espace complexe
Similitudes du plan : propriétés géométriques et matrices de similitude
Transformations orthogonales
Résolution exacte pour une matrice de similitude
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4) Portraits de phase en dimension 2
Taxonomie complète des portraits de phase en dimension 2
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5) Exponentielle de matrice
Rappels sur les normes matricielles et les séries de matrice
Définition de l'exponentielle de matrice
Rappels sur la rédution de Jordan et application au calcul de l'exponentielle d'une matrice
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6) Equations scalaires linéaires d'ordre élevé
Cas des coefficients constants : utilisation du polynome caractéristique et formules explicites de résolution
Cas des coefficients polynomiaux : rappels sur les séries entières et méthode de résolution par séries
Utilisation du Wronskien en dimension 2
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7) Equations non linéaires
Exemples de non unicité et d'explosion en temps fini
Fonctions Lispchitziennes et lemme de Gronwall; application à l'unicité locale
Notion de solution maximale
Equations à variables séparées
Equations de Bernoulli et de Riccati
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8) Quelques exemples en modélisation
Résolution d'équations aux dérivées partielles par séparation des variables : équations de la chaleur et des ondes
Notion de système conservatif et de système dissipatif
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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.