UE MATH: Algèbre multilinéaire

CONTENU

• Rappels d'algèbre linéaire. Espaces euclidiens.

  Dans ce premier chapitre, on commencera par revenir brièvement sur des notions d'algèbre linéaire qui seront centrales dans ce cours, notamment la théorie de la dimension, la structure de l'espace des applications linéaires entre deux espaces vectoriels de dimension finie, et  la notion de matrice associée à un endomorphisme. 

  On définira ensuite dans le cadre pré-hilbertien réel la notion de produit scalaire sur un espace vectoriel réel. Nous verrons plusieurs propriétés générales ainsi que diverses applications en dehors du champ de ce cours. Nous nous concentrerons alors sur la dimension finie (espace euclidien) et nous verrons deux théorèmes importants : le théorème spectral qui assure la diagonalisabilité des endomorphismes auto-adjoints d'un espace euclidien, puis le théorème de Cartan-Dieudonné qui montre que les réflexions orthogonales engendrent le groupe orthogonal d'un espace euclidien.

• Dualité linéaire

  Dans ce chapitre, nous nous placerons sur un corps quelconque K et étudierons l'espace dual E* d'un K-espace vectoriel E de dimension finie. Nous verrons que bien qu'il n'existe pas d'isomorphisme canonique entre E et E*, on a une correspondance bijective canonique entre les bases de E et celles de E*. Cette propriété fondamentale sera utilisée plusieurs fois dans les autres chapitres.

  Nous discuterons également la notion d'orthogonalité au sens de la dualité, et nous chercherons les points communs et les différences avec le cas des espaces euclidiens rencontrés au premier chapitre.

• Formes quadratiques réelles

  Dans ce chapitre, nous introduirons la notion de forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension finie. On apprendra à retrouver la forme polaire associée, et nous verrons la notion de noyau et de non-dégénérescence. Le chapitre sur la dualité viendra alors éclairer ces notions sous une autre lumière. Nous énoncerons alors et démontrerons la loi d'inertie de Sylvester, qui montre que les formes quadratiques réelles sont classifiées par la donnée d'un couple d'entier (p,q) appelé signature. Nous terminerons par des méthodes pratiques pour déterminer la signature d'une forme quadratique. 

• Espaces hermitiens

  Dans ce chapitre, nous verrons dans quelle mesure on peut étendre les théories développées dans le cas des espaces euclidiens aux espaces vectoriels définis sur le corps des nombres complexes. La première nécessité est de renoncer à la bilinéarité si l'on veut préserver le caractère défini-positif du produit scalaire. Pour cela, on introduit la notion de produit scalaire sesqui-linéaire, ou encore dit à symétrie hermitienne. 

  Nous verrons alors les points communs et les différences avec le cas réel rencontré au premier chapitre. Le chapitre culminera avec le théorème de réduction des endomorphismes normaux, qui généralise de façon optimale le théorème spectral dans le cadre hermitien. 

• Formes multilinéaires et déterminants

  Dans ce dernier chapitre, nous introduirons la notion de forme p-linéaires alternées sur un espace vectoriel quelconque. Nous déterminerons la dimension de l'espace qu'elles forment en dimension finie, et cela nous conduira naturellement au cas des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, qui forment une droite. Ceci nous conduira à la définition abstraitre du déterminant d'un endomorphisme, ainsi qu'à la notion de produit mixte sur un espace euclidien. Nous verrons en particulier le lien avec le produit vectoriel en dimension 3. Enfin, nous passerons en revue les propriétés classiques des déterminants, en faisons le pont avec le déterminant matriciel déjà rencontré.