Université Côte d'azur
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UE Algèbre effective

Code de l'ECUE : SLUMA601

Ce cours est proposé dans 0 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Ce cours clôt l'enseignement de l'algèbre en Licence et ouvre celui de Master. Y sont revisités :

- l'arithmétique des entiers (l'anneau ℤ) avec comme application l'algèbre linéaire (matricielle) sur les entiers

- l'arithmétique des polynômes avec comme application les corps finis

Le tout est présenté de façon effective : on cherche obstinément (et humblement) la solution par le calcul. Des expérimentations sur ordinateur sont menées avec le logiciel de calcul formel Sagemath très proche de Python.

De la sorte le cours est à la fois orienté vers l'algèbre approfondie par les thèmes abordés qu'ingénierie mathématique par son approche.

Responsable(s) du cours

Francois-Xavier Dehon

Présentiel

  • 24h de cours magistral
  • 32h de travaux dirigés
  • 16h de travaux pratiques

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Connaître l'arithmétique élémentaire des entiers (division euclidienne, pgcd, relation de Bezout, algorithme d'Euclide, calculs dans ℤ/nℤ : addition, multiplication, puissance).
  • Connaître l'algèbre et l'arithmétique élémentaire des polynômes (l'anneau K[X], division euclidienne).
  • Connaître les notions d'algèbre élémentaire (notion de groupe, ordre d'un élément d'un groupe, anneau, éléments inversible pour la multiplication, l'exemple ℤ/nℤ).
  • Connaître l'algèbre linéaire et matricielle élémentaire (matrice d'une application linéaire, calcul d'une base du noyau ou de l'image).

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Etablir une stratégie de calcul et la mettre en place avec un langage de calcul formel.
  • Distinguer le groupe multiplicatif de l'anneau ℤ/nℤ du groupe additif et le décrire comme groupe abélien à l'aide du lemme chinois.
  • Etablir et utiliser la correspondance entre polynômes irréductibles sur le corps Fp et les corps finis.
  • Poser les calculs algébriques matriciels en lien avec le changement de base (matrices de passage), les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, l'échelonnage d'une matrice, le calcul d'un déterminant, la détermination du noyau et de l'image d'une application linéaire.
  • Décrire l'action des homothéties sur le groupe multiplicatif de l'anneau ℤ/nℤ, expliciter l'homothétie réciproque lorsque l'homothétie est bijective.
  • Expérimenter sur ordinateur quelques algorithmes de factorisation des entiers et des polynômes. Reconnaître un tel algorithme à travers son code.

CONTENU

  • 1. Numération des entiers, relations =,<, opérations + - × ÷, 1ers algorithmes
    2. ℕ (cardinal, peano) ⤳ ℤ, ℚ, ℝ, division euclidienne, pgcd, relation de Bezout, lemme de Gauss, équations diophantiennes linéaires, systèmes de congruences, application : lemme chinois.
    3. L'anneau ℤ/nℤ, lemme chinois, groupe des unités, φ(n), ordre d'un élément inversible pour la multiplication. Application : RSA.
        TP : test de primalité, factorisation, RSA.
    [4. Carrés dans ℤ/nℤ (si le temps le permet)]

  • 1. Algèbre matricielle : interprétation des produits de matrices
    2. Pivot de Gauss revisité : opérations sur les lignes et les colonnes, échelonnage et forme de Smith d'une matrice sur ℚ et sur ℤ, application au noyau et à l'image d'une matrice.
    3. Applications : systèmes d'équations linéaires modulaires, lemme chinois du point de vu matriciel, base adaptée d'un sous-groupe de ℤn, présentation et structure d'un groupe abélien de type fini.

  • 1. ℚ[ζ] pour ζ∈ℂ , sous ℚ-algèbres de ℂ de dimension finie.

    2. Divisibilité dans k[X], division euclidienne, relation de Bézout, critère d'irréductibilité dans ℚ[X].

    3. Fp[X]/(P), lemme chinois, corps finis, homomorphisme de Frobenius, critère d'irréductibilité dans Fp[X], algorithme de Berlekamp.

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.