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ECUE MATH : Compléments d'algèbre linéaire

Code de l'ECUE : SPEM300

Ce cours est proposé dans 2 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques , Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Dans ce cours, nous allons faire se rencontrer le cours d'algèbre linéaire de première année, avec les notions de dimension, de rang, de base, de noyau, de valeur propre, de vecteur propre... avec les normes et produits scalaires manipulés en lycée. La combinaison de ces deux notions a de nombreuses conséquences : factorisation de matrices, méthodes des moindres carrés pour approcher un nuage de points par une fonction simple. On entreverra également des applications à l'analyse de données par le biais de l'analyse en composantes principales et la décomposition en valeurs singulières.

Responsable(s) du cours

David Chiron

Présentiel

  • 12h de cours magistral
  • 18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • savoir manipuler les notions de base d'algèbre linéaire de 1ère année : systèmes linéaires, matrices, sous-espaces vectoriels (de R^n), famille libre/génératrice, base, dimension, rang, déterminant, valeur propre, vecteur propre et diagonalisation des matrices.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Déterminer l'orthogonal d'une partie de R^N sous forme d'équations ou comme sous-espace engendré par une famille.
  • Orthonormaliser une famille libre dans R^N.
  • Déterminer une projection orthogonale et/ou la matrice d'une projection orthogonale dans R^N et identifier les matrices de projection orthogonale.
  • Appliquer la méthode des moindres carrés pour approcher un nuage de points par une fonction affine (ou d'autres fonctions).
  • Déterminer les éléments caractéristiques d'une isométrie du plan ou de l'espace.
  • Appliquer la méthode de l'analyse en composante principale pour extraire une direction prépondérante d'un nuage de points.

CONTENU

  • I-1 Produit scalaire usuel et norme usuelle sur R^N.

    I-2 Orthogonalité dans R^N.

    I-3 Orthonormalisation d’une famille libre dans R^N.

    I-4 Endomorphisme autoadjoint.

    I-5 Projection orthogonale dans R^N.

    I-6 Théorème de l'alternative.

  • II-1 Système linéaire surdéterminé

    II-2 Système linéaire sousdéterminé

    II-3 Droite des moindres carrés

    II-4 Autres approximations au sens des moindres carrés et utilisations

  • III-1 Produit vectoriel dans R^3

    III-2 Matrices orthogonales, isométries

    III-3 Théorème spectral

    III-4 Exemples fondamentaux d’isométries

    III-4.1 Les symétries orthogonales

    III-4.2 Isométries vectorielles du plan et matrices orthogonales en dimension 2

    III-4.3 Isométries vectorielles de l’espace et matrices orthogonales en dimension 3 

    III-4.4 sométries vectorielles et matrices orthogonales en dimension supérieure

  • IV-1 Coniques et quadriques

    IV-1.1 Équation homogène de degré deux dans le plan

    IV-1.2 Équation de degré deux dans le plan

    IV-1.3 Equation de degré deux dans l'espace : quadriques

    IV-2 Analyse en composantes principales (ACP)

    IV-3 Décomposition en valeurs singulières (SVD)

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.