Université Côte d'azur

ECUE MATH: Elément de probalités et Statistiques

Code de l'ECUE : SPEM304

Ce cours est proposé dans 2 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

La théorie des probabilités et les statistiques sont des outils mathématiques qui revêent une importance croissante en sciences (dans des domaines aussi variés que la physique, en particulier physique statistique et mécanique quantique, l'astrophysique, l'informatique et en particulier l'IA, la biologie, la chimie,...) aussi bien pour l’analyse de données et le traitement de résultats d’expérience que d’un point de vue théorique. Nous reviendrons dans une première partie sur les fondements de la théorie des probabilités en passant en revue l’axiomatique de base, les théorèmes fondamentaux et les différentes interprétations de la notion de probabilité. Dans une seconde partie nous nous intéresserons aux variables aléatoires et aux outils mathématiques rattachés qui permettent de caractériser et même de contrôler le hasard, car nous verrons qu'il est possible d'établir des quasi-certitudes sur des phénomènes pourtant aléatoires. Les distributions classiques telles que la loi binomiale, de Poisson, normale etc... seront introduites. Une troisième partie traitera de statistiques, en particulier d'estimation, qui est l'art d'inférer des valeurs à partir des données (de façon rigoureuse et fiable !) et de détection, qui est l'art  de décider en fonction des données  si une hypothèse mise en jeu est vraie ou non. Les performances de ces méthodes et les critères permettant de les évaluer seront expliqués.   Les notions abordées en cours seront illustrées et complétées en s’appuyant sur  des quizs directement posés en cours (en deuxième heure de séance), et d'un réservoir d’exercices qui seront traités en travaux dirigés et également de manière autonome par les étudiants.

Responsable(s) du cours

, Gilles Niccolini

Présentiel

  • 12h de cours magistral
  • 18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Connaissances en mathématiques d'une L1 de physique ou de mathématiques

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • utiliser les axiomes de la théorie pour effectuer des calculs de probabilité
  • résoudre des problèmes d’inférence simples à l’aide du théorème de Bayes
  • établir les expressions des lois de distribution classiques et de les utiliser
  • formaliser un problème en termes probabilistes
  • mettre en place des estimateurs de quantités d'intérêts dans l'analyse de données et quantifier leurs performances
  • mettre en place des tests d'hypothèses statistiques simples et d'évaluer leurs performances

CONTENU

  • 1.1 Introduction

    1.1.1 Approche « classique »

    1.1.2 Définition à l’aide de fréquences relatives

    1.2 Approche axiomatique

    1.2.3 Rappels de la théorie des ensembles

    1.2.4 Espace probabilisable

    1.2.5 Axiomes de Kolmogorov

    1.3 Probabilités conditionnelles

    1.3.6 Formule de Bayes

    1.3.7 Formule de « probabilités des causes »

    1.4 Indépendance

  • 2.5 Définition

    2.6 Fonction de répartition

    2.7 Variable continue : densité de probabilité

    2.8 Caractéristiques numériques

    2.8.8 Moyenne

    2.8.9 Médiane

    2.8.10 Variance, écart-type

    2.8.11 Moments (centrés/non-centrés)

    2.9 Fonction génératrices

    2.10 Quelques exemples de distributions

    2.10.12 Loi géometrique

    2.10.13 Loi binomiale

    2.10.14 Loi de Poisson

    2.10.15 Loi normale

    2.10.16 (Théorème de de Moivre-Laplace)

    2.11 Système de variables aléatoires

    2.12 Fonctions de variables aléatoires

  • Introduction à l'estimation statistique et aux tests d'hypothèses 

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.