Complément de Mathématiques

CONTENU

• L'ensemble des nombres complexes

  Nous présentons l'ensemble C des nombres complexes. 

  Cet ensemble contient l'ensemble R des nombres rééls et un nombre complexe noté i tel que i² le produit de i par i soit le réel -1. L'ensemble est muni d'opérations : addition, multiplication, soustraction et division. Ces opérations prolongent ces mêmes opérations définies sur R et ont les mêmes propriétés. L'ensemble C n'est pas trop gros : tout complexe z s'écrit de façon unique z=a+bi  où a et b sont réels. 

  Nous appelons a-bi le conjugué de z=a+bi et donnons les propriétés de cette opération dite de conjugaison. En particullier le produit (a+ bi)(a-bi) est un réél positif. Ce nombre positif est le carré de ce que nous appelons le module du complexe z.

   

• Equations du second degré à coefficients réels

  Soit a,b,c des réels, si b² - 4ac  > 0,  nous savions que l'équation  ax² + bx +  c = 0 avait deux solutions réelles. Nous montrons que si  b² - 4ac < 0,  cette équation a alors comme solutions deux nombres complexes conjugués dont nous donnons l'expression.

• Ecriture trigonométrique et exponentielle

  Nous faisons quelques rappels de trigonométrie. Nous montrons que tout nombre complexe z non nul s'écrit r (cos (theta)  + sin (theta) i )  où  r>0 et  theta sont des réels. Le réel r est le module de z et theta est appelé un argument de z. Cette écriture est appelée écriture trigonométrique de z. 

  Nous posons alors exp (i theta) = cos (theta)  + sin (theta) i et expliquons cette notation. Tout complexe z non nul s'écrit donc r  exp (i theta)  où  r > 0  et  theta  sont des réels. Cette écriture est appele écriture exponentielle  de z. 

• Nombres complexes et géométrie du plan

  Soit P un plan muni d'un repére orthonormé. Soit M un point de coordonnées (a,b). Le complexe  z= a+bi est appelé affixe de M. De même si un vecteur u est de de coordonnées (a,b), le complexe  z= a+bi est appelé affixe de u. Nous identifions ainsi les points de P et les vecteurs de P à l'ensemble C des nombres complexes. Nous obtenons alors une interprétation géométrique des opérations sur C et une interprétation  ''complexe'' de transformations géométriques comme les translations et rotations.

• Compléments

  Nous terminons par différents compléments :  résolution des équations du second degré à coefficients complexes, racines n-ième de l'unité, détermination d’un complexe de puissance n-ième donné.