Université Côte d'azur
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UE MIASHS: Calcul différentiel, optimisation et analyse

Code de l'ECUE : SPUA400

Ce cours donne droit à 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Calcul différentiel, optimisation et analyse de décision

Ce cours explore les concepts fondamentaux du calcul différentiel et de l'optimisation dans ℝᴺ, avec des applications en économie et en sciences humaines et sociales (SHS). Il commence par une introduction à la topologie de ℝᴺ (normes, ouverts, compacts, convexité) et à l'analyse des fonctions réelles à plusieurs variables (limites, continuité, dérivées partielles, gradient). Le développement de Taylor et les formes quadratiques sont étudiés pour comprendre les comportements locaux, et la spécificité du cas quadratique. Ensuite, le cours aborde l'optimisation sans contraintes, incluant les points critiques et les conditions d'optimalité du premier et du second ordre. Enfin, l'optimisation avec contraintes est traitée via la méthode du Lagrangien et les conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Des exemples concrets en SHS illustrent la capacité de ces outils mathématiques à modéliser et analyser les résultats en aide à la décision.

Responsable(s) du cours

, Abderrahmane Habbal

Présentiel

  • 24h de cours magistral
  • 36h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Calcul différentiel et intégral en une variable, algèbre linéaire, bases de l'analyse réelle.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Comprendre les concepts fondamentaux de l'analyse en plusieurs variables et de l'optimisation. Maîtriser les outils mathématiques pour résoudre des problèmes d'optimisation avec ou sans contraintes. Appliquer ces concepts à des problèmes concrets en économie et en sciences humaines et sociales (SHS).

CONTENU

    1. ℝᴺ et sa topologie

      • Normes et distances, boules, voisinages.

      • Ensembles ouverts, fermés, bornés, compacts, convexes.

    2. Graphes, épigraphes, courbes de niveau

      • Convexité des ensembles et des fonctions.

    1. Limites et continuité

      • Limites de fonctions réelles à plusieurs variables.

      • Continuité et propriétés des fonctions continues.

    2. Différentielles et dérivées partielles

      • Dérivées partielles d'ordre n, gradient.

      • Composition de fonctions et différentielles.

    3. Convexité et différentielles

      • Liens entre convexité et différentiabilité.

    4. Formes quadratiques

      • Cas particuliers et applications.

    5. Développement de Taylor dans ℝᴺ

      • Développement à l'ordre un et deux.

    1. Introduction à l'optimisation

      • Exemples en sciences humaines et sociales (SHS).

    2. Points critiques

      • Définition et identification.

    3. Conditions d'optimalité

      • Conditions du premier ordre (gradient nul).

      • Conditions du second ordre (matrice hessienne).

      • Cas des fonctions convexes.

    1. Introduction à l'optimisation sous contraintes

      • Exemples en SHS.

    2. Contraintes d'égalité

      • Méthode du Lagrangien.

    3. Contraintes d'inégalité

      • Points-selle et relations de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) (sans preuve).

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.