UE MATH: Introduction à l'algèbre linéaire

CONTENU

• Section 1: Systèmes linéaires

  Motivations, petits systèmes linéaires, intersections de droites et de plans..

• Section 2: Matrices

  Opérations dans R^n, vu comme espace vectoriel. Matrices et calcul matriciel. Matrices comme applications linéaires. Matrices symétriques.

• Section 3: Déterminant

  En dimension 2 et 3 et formule générale. Cramer. Matrices inversibles. Détermination de l’inverse avec les opérations de Gauss.

   

• Section 4: Familles libres et génératrices

  Sous-espaces vectoriels de R^n (noyau d’un système d’équations linéaires). Famille libre, famille génératrice, bases, coordonnées, changement de bases.

   

• Section 5: Applications de l’algorithme du pivot de Gauss

  Déterminer si une famille est libre, relations linéaires liant une famille de vecteurs, vérifier si un vecteur appartient à l’espace engendré par un ensemble de vecteurs, déterminer si une famille est génératrice pour un certain espace, compléter une famille libre en une base.

• Section 6: Bases

  Déterminer une base d’une intersection de sous-espaces, déterminer des équations d’un sous-espace, extraire une base d’une famille génératrice. Théorème du rang (sans preuve).

• Section 7: Géométrie vectorielle Euclidienne

  Opérations sur les vecteurs : produit scalaire, orthogonalité et norme, distance, Gram-Schmidt, inégalité de Cauchy-Schwarz e triangulaire. Produit vectoriel 

• Section 8: Valeurs et vecteurs propres

  Polynôme caractéristique. Calcul de valeurs et vecteurs propres de matrices. Interprétation géométrique pour les cas n=2 et 3.

   

• Section 9: Diagonalisation

  Diagonalisation de matrices symétriques réelles.

• Section 10: Récapitulation

  Résumer les compétences visées:

  -résolution de systèmes linéaires, expression de l’espace des solutions

  -calcul matriciel: changements de bases et diagonalisation (inclut déterminants et recherches d’espaces propres)