Université Côte d'azur
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UE MATH : Méthodes d'algèbre linéaire

Code de l'ECUE : SPUM103

Ce cours donne droit à 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 1
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Ce cours consiste en une introduction à l'algèbre linéaire. Ce domaine se situe entre la géométrie (linéaire: droites, plans, leurs intersections dans l'espace) et l'algèbre (résolution de systèmes linéaires), et a un très grand nombre d'applications, dans et en dehors des mathématiques. En effet, il fournit le cadre théorique qui permet de résoudre des problèmes mathématiques, physiques, chimiques, d'IA, d'analyse des données très variés "en première approximation". Bien qu'on donnera, dans ce cours, les notions théoriques nécessaires, on se focalisera sur la résolution d'exercices concrets et la compréhensions d'exemples explicites, qui permettront à l'étudiant de commencer à se construire un bagage mathématique adéquat pour la suite de ses études.

Responsable(s) du cours

Vladimiro Benedetti

Présentiel

  • 20h de cours magistral
  • 36h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • avoir lu le CM0 sur la page moodle du cours
  • avoir effectué le test de positionnement sur le moodle du cours et, le cas échéant, avoir récupéré les lacunes (en lisant les polycopiés des cours Math0)
  • avoir lu les informations sur le cours présentes dans le syllabus et sur moodle
  • avoir suivi les cours MAth0 sur la logique et la theorie des ensembles, les calculs dans l’ensemble des nombres réels, la trigonométrie, la géométrie dans le plan

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • résoudre des systèmes linéaires (méthode des pivots)
  • interpréter les problèmes d'algèbre linéaire en termes géométriques (résoudre un système linéaire équivaut à intersecter...?)
  • faire du calcul matriciel: savoir changer de base, calculer un déterminant, diagonaliser une matrice et rechercher les espaces propres

CONTENU

  • Dans cette section, on affrontera les thèmes suivants du contenu du cours:

    • Définition de vecteurs dans le plan, l'espace et en général
    • Résolution de petits systèmes d’équations linéaires. Interprétation géométrique : Droites dans le plan R². Droites et plans dans l’espace R³
    • Résolution de systèmes d’équations linéaires

  • Dans cette section, on affrontera les thèmes suivants du contenu du cours:

    • Opérations dans R^n
    • Sous-espaces vectoriels de R^n (noyau d’un système d’équations linéaires). Famille libre, famille génératrice, bases, coordonnées
    • Applications de l’algorithme du pivot de Gauss

  • Dans cette section, on affrontera les thèmes suivants du contenu du cours:

    • Matrices et calcul matriciel. Inverse avec les opérations de Gauss
    • Déterminant (en dimension 2 et 3). Produit vectoriel. Cramer. Matrices inversibles
    • Changement de bases

  • Dans cette section, on affrontera les thèmes suivants du contenu du cours:

    • Valeurs propres. Vecteurs propres de matrices, n=2 ou 3
    • Diagonalisation. Diagonalisation de matrices symétriques réelles. Polynôme caractéristique
    • Géométrie vectorielle Euclidienne dans R²/R³
    • Opérations sur les vecteurs : produit scalaire, orthogonalité et norme, distance, Gram-Schmidt (év. inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire)
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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.