UE MATH: Logique et Arithmétique

Code de l'ECUE : SPUM202

Ce cours donne droit à 6.0 ECTS.

Structure

PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES

Domaine disciplinaire

Mathématiques

Lieu d'enseignement

Campus Valrose

Niveau du cours

Licence 1

Semestre

Semestre impair

Langue

Français

PRESENTATION

Programme du cours:

Le but de ce cours est de voir (ou revoir) avec une rigueur mathématique plus poussée qu'au lycée les thèmes de base suivants:

Arithmétique des entiers : divisibilité, nombres premiers, pgcd, rationalité et irrationalité, calcul modulaire...
Polynômes : racines, arithmétique, théorème de D'Alembert-Gauss,
Nombres réels: axiomatique, borne sup, borne inf,
Suites : définition rigoureuse de la convergence, théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy,
Fonctions d'un variable limites et continuité, théorème des valeurs intermédiaires, image d'un segment,

Certains thèmes ont déjà été abordés au lycée et/ou le sont dans le cours "Fondements 1". Le but est ici de définir rigoureusement toutes les notions et d'insister sur les démonstrations.

Ce cours demande un investissement personnel conséquent (plusieurs heures de travail personnel par semaine), mais reste accessible à tous.

Responsable(s) du cours

, Christophe Cazanave

Présentiel

24h de cours magistral
36h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...

Avoir envie d'apprendre des concepts mathématiques abstraits en insistant sur les démonstrations plus que sur les méthodes.
Avoir envie de formaliser des définitions intuitives vues au lycée (limites, etc).
Être à l'aise avec le concept de fonction d'une variable réelle (suivre obligatoirement en parallèle le cours "fondements 1").
Faire un petit test de positionnement: https://lms.univ-cotedazur.fr/mod/quiz/view.php?id=73752

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...

Appliquer les algorithmes relevant de l’arithmétique des entiers relatifs ou des polynômes : division euclidienne, calcul de pgcd, décomposition en facteurs irréductibles, résolution des équations de Bezout
Mettre en œuvre des stratégies pour démontrer des propriétés arithmétiques des entiers ou des polynômes
Expliquer les définitions relevant de l’arithmétique des entiers relatifs et des polynômes
Expliquer les définitions relevant des nombres réels, des suites de nombres réels et de la notion de limite
Manipuler la définition de la notion de limite et les propriétés des nombres réels issues de leur construction axiomatique
Établir la convergence ou la non-convergence d’une suite/fonction en un point.

CONTENU

Arithmétique des entiers

Divisibilité, nombres premiers, pgcd, rationalité et irrationalité, calcul modulaire...
Arithmétique des polynômes

Racines, arithmétique, théorème de D'Alembert-Gauss,
Nombres réels

Axiomatique, borne sup, borne inf, densité des rationnels
Suites réelles

Définition rigoureuse de la convergence, théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass
Fonctions: limites et continuité

Définition formelle et rigoureuse de limites et continuité, théorème des valeurs intermédiaires, image d'un segment par une fonction continue.
Évaluations terminales

Aucune description

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Important

Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.