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UE MATHS S3 : Complements d'analyse

Code de l'ECUE : SPUM31

Ce cours est proposé dans 0 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Nous apprendrons à utiliser les dérivées successives d'une fonction pour en déduire ses propriétés analytiques et géométriques. Nous commencerons par approfondir le cas des fonctions numériques d'une seule variable réelle, puis nous considérerons le cas des fonctions à valeurs vectorielles et enfin le cas des fonctions de plusieurs variables réelles. Au passage, nous étudierons les concepts suivants:

  • Formules de Taylor,
  • Fonctions monotones,
  • Fonctions convexes,
  • Courbes paramétrées,
  • Dérivées partielles et différentielle,
  • Problêmes d'extremum.

Responsable(s) du cours

Erwann Aubry

Présentiel

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Identifier les schémas de preuve des propriétés des fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.
  • Déterminer la régularité d'une fonction vectorielle d'une ou plusieurs variables réelles.
  • Démontrer les principales propriétés des courbes paramétrées.
  • Elaborer une démonstration simple sur les extrema d'une fonction numérique de plusieurs variables.
  • Résoudre un problème d'extremum pour une fonction numérique de plusieurs variables réelles.
  • Déterminer les propriétés géométriques et l'allure du graphe d'une fonction.
  • Exposer à l'écrit une étude des propriétés d'une fonction.
  • Exploiter les liens entre les propriétés analytiques d'une fonction (régularité, monotonie, convexité) et les propriétés géométriques de son graphe.
  • Exposer à l'oral le calul d'un développement de Taylor et son utilisation en vue de la détermination des propriétés locales ou globales d'une fonction vectorielle d'une ou plusieurs vairables

CONTENU

  • Pour vous aider à réviser les notions vues en L1, des tests de positionnement et des rappels de cours sont disponibles sur la page Moodle du cours.

  • Dans cette première partie du cours, nous approfondissons les notions d'analyse introduites en L1 dans les cours de fondement 1 et 2 et dans les cours de compléments 1 pour l'étude des fonctions d'une seule variable réelle. Nous verrons comment utiliser les dérivées successives d'une fonction pour determiner ses propriétés analytiques et les propriétés géométriques de son graphe. Plus précisement, nous étudierons:

    • Les formules de Taylor des fonctions d'une seule variable et leur applications.
    • Les fonctions monotones.
    • Les fonctions convexes.
    • Les courbes paramétrées.
  • Aucune description

  • Interrogation orale sur le cours

  • Nous verrons comment les notions de régularité se généralisent au cas des fonctions de plusieurs variables réelles. Plus précisément, nous verrons les notions de

    • fonctions continues.
    • fonctions différentiables.
    • dérivées partielles.
    • fonctions \(C^k\).

    Ces notions seront utilisées pour étudier les propriétés des fonctions de plusieurs variables. Plus précisément, nous étudierons

    • Les formules de Taylor et leurs applications pour les fonctions de plusieurs variables.
    • Les probèmes d'extremum pour les fonctions numériques de plusieurs variables réelles.
  • Aucune description
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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.