Ce cours est une introduction aux probabilités et aux statistiques, pour les étudiant-es en mathématiques.
Il vise donc à revoir l'ensemble du programme de lycée (et un peu plus) en probabilités et statistiques (probabilités discrètes et continues, loi des grands nombres, statistiques descriptives...), en lui donnant un cadre rigoureux à l'aide du formalisme mathématique (théorie des ensembles, dénombrement, théorie de l'intégration, séries numériques...). Ce cours est donc indispensable pour suivre le cours de probabilités plus avancé, et il est fortement conseillé pour suivre le cours de théorie de la mesure en L3.
Nous tacherons de motiver chaque concept mathématique et chaque théorème important par un exemple provenant de la vie de tous les jours !
Nous verrons comment calculer des nombres d'arrangements, de combinaisons, et quelles sont les propriétés des coefficients binomiaux.
Ce chapitre servira de base à l'étude des probabilités dans les espaces finis.
Un CM ainsi que deux feuilles de TD sont prevu pour ce chapitre.
Nous verrons la définition d'une mesure de probabilité, de variables aléatoires, de l'espérance et de la variance, sur des ensembles finis.
Tout au long de ce chapitre, nous donnerons de nombreux exemples. Afin de bien fixer les concepts de ce chapitre, il est important de bien maîtriser le chapitre précédent.
Deux CM ainsi que deux feuilles de TD sont prevu pour ce chapitre.
Nous verrons quels sont les différents types de variables statistiques, comment les représenter de façon pertinente, par des graphiques et par des indicateurs statistiques.
Nous établirons également un parallèle entre "statistiques" et "probabilités", en soulignant les différences et les similitudes entre ces deux matières.
Un CM ainsi que et une feuille de TD sont prevu pour ce chapitre.
Nous verrons ce qu'est la probabilité d'un événement en sachant un autre, ce qu'est l'indépendance d'événements et variables aléatoires, et comment cela aide au calcul d'espérances et de variances. Nous prouverons la formule des probabilités totales ainsi que la formule de Bayes. Nous terminerons par une preuve de la loi des grands nombres. Nous donnerons aussi de nombreux exemples et applications de ces résultats.
Deux CM ainsi que deux feuilles de TD sont prevu pour ce chapitre.
Nous généraliserons les définitions du chapitre 3 sur des espaces infinis dénombrables, et découvrirons les propriétés de la loi géométrique et de la loi de Poisson.
En début de chapitre, nous rappellerons les théorèmes de base sur les séries de nombres.
Deux CM et trois feuilles de TD sont prevu pour ce chapitre.
Nous découvrirons les lois à densité, pour lesquelles les probabilités d'événement se calculent à l'aide d'intégrales. Nous terminerons en donnant l'énoncé du théorème central llimite.
En début de chapitre, nous rappellerons les théorèmes de base sur l'intégrale de Riemann.
Deux CM ainsi que deux feuilles de TD sont prevu pour ce chapitre.
Dans ce chapitre, nous verrons comment les outils probabilistes (loi des grands nombres, théorème central imite) permettent de répondre à certaines questions naturelles en statistiques. Comme fil conducteur, nous considérerons la question : quelle est la probabilité qu'un sondage se trompe ?
Un CM est prevu pour ce chapitre.
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