Université Côte d'azur

UE MATH S4 : Algèbre

Code de l'ECUE : SPUM42

Ce cours est proposé dans 0 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Dans la première partie du cours Algèbre on approfondit les structures algébriques introduites dans le cours Compléments d'Algèbre. Les notions clés sont celles de sous-groupes distingués et idéaux. Afin de pouvoir introduire ces notions proprement, on étudie les relations d'équivalence. On considère ensuite des relations d'équivalence dans la théorie des groupes qui mènent vers la notion de sous-groupe distingué d'un groupe. Nous étudions également la structure d'ensemble quotient dans le context des anneaux. Des anneaux avec propriétés spéciales sont ensuite étudiés et des applications, en arithmétique, en algèbre linéaire, sont illustrées.

La deuxième partie du cours est la suite de la partie algèbre linéaire du cours Fondements Mathématiques 3 où la notion d'endomorphisme/matrice diagonalisable a été introduite. Dans le cours Algèbre nous travaillons avec des matrices carrées réelles ou complexes et avec des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie sur R ou C. On étudie d'autres formes de réduction comme la trigonalisation, la réduction en blocs caractéristiques, la décomposition de Dunford et la réduction de Jordan.

Responsable(s) du cours

Ann Lemahieu , Adam Parusinski

Présentiel

  • 24h de cours magistral
  • 48h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • réaliser les tests de positionnement 1, 2 et 4 dans la rubrique "Chapitre 1 : Groupes : 1. et 2. Rappels et compléments" sur Moodle afin de faire le point sur les connaissances issus de précédents modules que je devrais avoir pour aborder ce cours. Il est donc fortement recommandé de les faire.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Exploiter différentes caractérisations des endomorphismes nilpotents pour démontrer une propriété mathématique.
  • Calculer des classes à gauche et des groupes quotients.
  • Mémoriser les définitions et les principales propriétés des groupes classiques afin de démontrer de nouvelles propriétés simples les mettant en jeu.
  • Mémoriser les définitions et les principales propriétés des groupes finis classiques afin de constituer une culture mathématique sur les groupes.
  • Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d'un endomorphisme/d'une matrice.
  • Utiliser les quotients d'anneaux pour construire des corps finis.
  • Réduire un endomorphisme/une matrice en le/la diagonalisant, trigonalisant ou en le/la mettant sous forme de Jordan ou en donnant la décomposition de Dunford, en vue notamment de calculer la puissance n-ième d'une matrice.
  • Restituer les démonstrations des principales propriétés dans l'étude des sous-groupes distingués et dans l'étude de divisibilité dans les anneaux.

CONTENU

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