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Français
English
Calculs vectoriel et matriciel, matrices inversibles, normes vectorielles, produit scalaire, transposition, matrices symétriques définies positives, normes matricielles induites, relation entre rayon spectral et normes matricielles induites, suites de vecteurs et de matrices, conditionnement d’une matrice.
UE MATH S4 : Résolution numérique des systèmes d'équations
Code de l'ECUE : SPUM43
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français
PRESENTATION
Le but de cette unité d'enseignement est d'étudier théoriquement et de savoir programmer quelques méthodes de base du calcul et de la simulation numérique omniprésentes dans les applications. Ce cours aborde les algorithmes de résolution des systèmes linéaires et non linéaires ainsi que le calcul numérique des valeurs propres d'une matrice. Leurs propriétés de convergence seront rigoureusement établies, leur complexité sera étudiée et les algorithmes seront mis en pratique sur ordinateur à l'aide du logiciel libre Scilab (https://www.scilab.org) en abordant dès que possible des exemples d'applications concrètes.
Responsable(s) du cours
Présentiel
- 24h de cours magistral
- 24h de travaux dirigés
- 24h de travaux pratiques
PREREQUIS
Avant le début du cours, je dois ...
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Maîtriser l'algèbre linéaire: espaces vectoriels, calcul matriciel, valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice, diagonalisation - triangularisation d'une matrice, produits scalaires et normes. Voir section 1 du chapitre I du cours https://lms.univ-cotedazur.fr/pluginfile.php/115272/mod_resource/content/4/MethodesIteratives.pdf
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Maîtriser le calcul différentiel: fonctions de plusieurs variables, continuité, différentielle, dérivées partielles, formules de Taylor. Voir section 2 du chapitre II du cours: https://lms.univ-cotedazur.fr/pluginfile.php/115273/mod_resource/content/4/SolveursNonLineaires.pdf
OBJECTIFS
A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
- Etudier la convergence et la complexité d'une méthode itérative pour la résolution d'un système linéaire
- Programmer une méthode itérative préconditionnée pour la résolution d'un système linéaire
- Etudier la convergence des méthodes de point fixe et de Newton en dimensions 1 et n
- Programmer les méthodes de point fixe et de Newton en dimension n
- Programmer l'algorithme de factorisation LU avec et sans pivotage et les algorithmes de descente et de remontée
- Calculer les valeurs propres d'une matrice par la méthode de la puissance itérée et de la puissance inverse
CONTENU
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Rappels et compléments d'algèbre linéaire
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Résolution numérique des systèmes linéaires par méthodes itératives
Méthodes de Richardson à pas fixe et à pas variable, étude de leurs propriétés de convergence, notion de préconditionnement des méthodes itératives, exemples des préconditionnements de Jacobi, Gauss Seidel, SOR et SSOR, notion de matrice creuse et étude de la complexité des méthodes itératives.
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Résolution numérique des systèmes linéaires par méthodes directes
Factorisation LU d'une matrice carrée inversible sans et avec pivotage, algorithmes de descente et de remontée, algorithme avec stockage de la factorisation dans la matrice, étude de la complexité des algorithmes.
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Résolution numérique d’équations et de systèmes d'équations non linéaires
Rappels et compléments de calcul différentiel. Algorithme du point fixe et méthode de Newton en dimension 1 puis en dimension n, estimation de l'erreur d'approximation, convergence linéaire et quadratique.
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Approximation numérique de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice
Localisation des valeurs propres, méthodes de la puissance itérée et de la puissance inverse.
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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.