ECUE CLE2D Nombres

CONTENU

• 1. Raisonnement et vocabulaire ensembliste.

  Initiation à la logique mathématique. Négation - Conjonctions - Implication -  Équivalence - Étude des différents raisonnements : direct, par contraposé, par l’absurde, par récurrence. Quantificateurs - Utilisation de contre exemple.

• 2. Quelques incontournables.

  C'est un chapitre de révisions sur  les calculs basiques de partie entière, valeurs absolues, racines carrées, sommes et produits finis, formule du binôme,majorant, borne sup, élément maximal ... ON insistera aussi sur les notions de surjection, injection, bijection souvent mal comprises. Enfin, nous commencerons à travailler avec les relations d'ordres, les relations d'équivalences et les ensembles quotients ... notions indispensables à l'étude des "nombres".

• 3. Arithmétique

  Révisions sur les nombres premiers, l'algorithme d'Euclide, les congruences, les critères de divisibilité, l'écriture des nombres en différentes bases et les théorèmes fondamentaux de l'arithmétique comme le théorème de Bezout, le lemme d'Euclide, le lemme de Gauss, le petit théorème de Fermat...

• 4. Exemples de groupes

  Définitions et manipulations de groupes, morphismes de groupes, groupes quotients, actions de groupes... Nous consacreront un peu de temps à l'étude des groupes symétriques.

• 5. Exemples d'anneaux et de corps.

  Sans faire de la "théorie des corps", nous en étudierons les premières propriétés surtout avec notre exemple basique de Z/nZ pour n premier.

• 6. Présentation de N, Z, Q et R.

  Nous survolerons l'axiomatique de l'ensemble N des entiers naturels puis nous construirons l'anneau principal Z et son corps des fractions c'est-à-dire, le corps Q des rationnels. Nous verrons aussi comment définir les nombres réels. Ce chapitre est plus abstrait mais il est fondamental d'avoir réfléchi à ces notions, surtout pour des futurs enseignants de mathématiques. C'est aussi une bonne motivation pour travailler les relations d'équivalences et les ensembles quotients.

• 7. Développements décimaux.

  Il s'agit ici d'approfondir nos connaissances sur l'anneau des nombres décimaux, l'écriture décimale des réels, la caractériserisation des rationnels... Cela nous permettra de mieux apréhender  l'utilisation d'autres bases que la base 10, par exemple après avoir revu l'écriture en base 2 des entiers nous pourront comprendre l'écriture dyadique des nombres réels (  sujet de capes 2018 ).

   

• 8. Pour aller plus loin.

  Nous nous entrainerons ici à rédiger des solutions de sujets posés au 2ème oral du Capes des années précédentes sur les thèmes suivants: géométrie plane, arithmétique, modélisation...

  Vous pourrez aussi consulter des ressources externes de cours de niveaux supérieurs.