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ECUE Systèmes dynamiques et calcul différentiel

ECUE's code : SLEAA506

This course belong to UE Systèmes dynamiques, calcul différentiel et optimisation (6 ECTS) which contains 2 ECUE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

L’objectif de ce cours est de dispenser les bases du calcul différentiel en plusieurs dimensions et d'approfondir son cadre d'application aux systèmes d'équations différentielles ordinaires. On présentera aussi les principes du calcul des approximations numériques des solutions de ces équations.

L'intérêt particulier porté aux équations différentielles est motivé par le fait que celles-ci apparaissent fréquemment dans la modélisation des phénomènes naturels. Les lois de la mécanique et de la physique s'expriment à travers des équations différentielles, à commencer par la plus célèbre d'entre elles F=m.Gamma (2ème loi universelle de Newton (1642-1727)). L'écologie, l'épidémiologie et la physiologie ne sont également pas en reste, tout comme les activités humaines (finance, transport,...).

Disposer de la solution d'une équation différentielle (ou d'un ensemble d'équations différentielles) permet de prédire le comportement futur du système modélisé par cette équation différentielle. Malheureusement, il n'est que rarement possible de résoudre exactement une équation différentielle. C'est pourquoi l'usage de la simulation numérique qui permet de déterminer des solutions approchées de ces équations est indispensable, et il est tout aussi indispensable de savoir comment mesurer et maîtriser l'erreur d'approximation. 

A l'occasion de ce cours, nous aborderons les différents aspects évoqués, en tentant à travers des cas simples de transmettre certains des concepts fondamentaux dans cette discipline.

Course's manager(s)

, Elisabeth Pecou

In class

  • 16h of lectures
  • 20h of directed studies
  • 15h of practical work

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Maîtriser les bases des mathématiques de niveaux L1 et L2

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • Citer le théorème de Cauchy-Lipschitz et vérifier son applicabilité sur des exemples
  • Tracer le portrait de phase d'un système de deux équations différentielles linéaires à coefficients constants
  • Résoudre des systèmes de 2 équations différentielles linéaires à coefficients constants
  • Calculer la matrice jacobienne d'une fonction de 3 variables
  • Calculer les extrema locaux d'une fonction de deux variables et identifier leur nature (minima ou maxima)
  • Implémenter un schéma numérique pour calculer une valeur approchée de la solution d'un équation différentielle ordinaire

CONTENT

    1. Calcul différentiel.
    2. Théorie des équations différentielles ordinaires.     
    3. Approximation numérique des équations différentielles ordinaires.

  • On étudiera les fonctions F: Rn -> Rp, avec n et p pouvant valoir 1, 2 ou 3. On généralisera en dimension supérieure les notions de continuité, de dérivabilité et d'extréma déjà apprises pour les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles.

    Notamment, on définira:

    • la continuité,
    • les dérivées partielles,
    • la matrice jacobienne, le gradient,
    • la formule de Taylor,
    • la matrice Hessienne,
    • les extréma

     

    Ce volet du cours s'appuiera sur:

    • Liret François, Martinais Dominique, Analyse 1, chap 15
    • Liret François, Martinais Dominique, Analyse 2, chap 7
    1. Equations scalaires linéaires d’ordre 1 (méthode de la variation de la constante).
    2. Equations différentielles scalaires linéaires d’ordre n à coefficients constants.
    3. Cas général. Exemples d’équations différentielles non-linéaires; mise sous forme ordre 1 dans le cas général. On évoquera le théorème de Cauchy-Lipschitz (sans preuve).Cas des équations différentielles à variables séparables.
       

    Ce volet du cours s'appuiera sur:

    • Liret François, Martinais Dominique, Analyse 1, chap 7 et chap 17
    • Liret François, Martinais Dominique, Algèbre 2, chap 5
    • Liret François, Martinais Dominique, Analyse 2, chap 11

  • Approximation numérique des Equations differentielles ordinaires

    • Mise en forme des schémas numériques d’Euler explicite et implicite, Crank Nicolson, RK4; Notion de schémas explicite/implicite et problématique de résolution associées dans le cas implicite, schéma à un pas.
    • Notion de convergence de schémas numériques et ordre de convergence. Etude sur un exemple : convergence du schéma d’Euler explicite.
    • Cadre général : Notion de consistance, stabilité et ordre, théorème de convergence des schémas à un pas (sans preuve).
    • Discussion sur la stabilité, exemples sur les systèmes linéaires. Notion de raideur.
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