University Côte d'azur
/ Formation / Syllabus SLEAA507
Français English

ECUE Optimisation

ECUE's code : SLEAA507

Belong to 2 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

L’optimisation de fonctions, généralement de plusieurs variables, est sans conteste celle qui apparait le plus fréquemment dans la modélisation économique (maximiser le bénéfice, la satisfaction des clients, la productivité ou minimiser les coûts, le risque, etc.).

Mathématiquement, l’optimisation se traduit par la recherche des points du domaine en lesquels la fonction étudiée prend une valeur maximale ou minimale. En ces points, la fonction admet un extremum, appelé aussi optimum. On distingue deux grandes classes :

  • les extrema locaux, définis dans le voisinage d’un point, pour lesquels sont formulées diverses conditions mathématiques,
  • les extrema globaux, valables dans tout le domaine de définition de la fonction, et qui sont souvent les plus utiles dans les applications pratiques.

Nous allons voir que pour avoir des critères simples d’optimisation, il est nécessaire que la fonction à optimiser soit suffisamment régulière, son domaine de définition ait une forme adéquate,et enfin que le cas idèal (obtention d’un optimum global) requière des hypothèses supplémentaires, comme la concavité ou la convexité de la fonction à optimiser.

 

 

Course's manager(s)

Amina Amassad

In class

  • 8h of lectures
  • 16h of directed studies

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Maîtriser les bases des mathématiques de niveau L1 et L2

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes d'égalités en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
  • résoudre des problèmes d'optimisation de fonctions différentiables sans contrainte.
  • résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes d’inégalités, les conditions de Kuhn et Tucker.
  • résoudre des problèmes d’optimisation de fonctions convexes.

CONTENT

    • Optimisation des fonctions différentiables sans contrainte.
    • Optimisation sous contraintes : Lagrangien, multiplicateurs de Lagrange, optimisation avec contraintes d’égalités, avec contraintes d’inégalités.
    • Optimisation des fonctions convexes.

  • I-1. Matrice Héssienne

    I-2. Matrice Héssienne bordée

    I-3. Matrice Jacobienne

    I-4. Matrices (semi) définies positives

    I-5. Matrices (semi) définies négatives

    I-6. Caractérisation d'une matrice carrée symétrique

    I-7. Mineurs principaux

    I-8. Ensemble convexe

    I-9. Ensemble strictement convexe

    I-10. Fonctions concaves et fonctions convexes

    I-11. Fonctions quasi-concaves et fonctions quasi-convexes

     

     

     

     

  • II-1. Définitions(maximum, minimum, optimum local, optimum global,...)

    II-2. Conditions nécessaires et suffisantes de l'existence d'un optimum

     

     

  • I-1. Cas d'une fonction à une seule variable

    I-2. Cas d'une fonction de plusieurs variables

     

  • II.1. Fonctions de deux variables et une contrainte en égalité

    II.2. Fonctions de n variables sous contraintes en égalités

  • III.1. Contraintes satur ́ees, contraintes régulières

    III. 2. Le théorème de Kuhn et Tucker

Access to complete Syllabus (Authentification required)
Important
This syllabus has no contractual value. Its content is subject to change throughout this year: be aware to the last updates