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ECUE MATH : Compléments d'Analyse et Séries de Fourier

ECUE's code : SLEM500

This course belong to UE MATH: Analyse et topologie (6 ECTS) which contains 2 ECUE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Anglais , Français

PRESENTATION

Ce cours est composé de trois parties largement indépendantes, présentant des notions essentielles en analyse. Certaines sont dans la continuité directe du programme de L2, et d’autres sont entièrement nouvelles.
- On commencera par revoir des notions avancées sur les séries : produit de Cauchy de séries, transformation d’Abel pour établir la convergence, estimation du reste d’une série convergente…
- On (re)verra ensuite les séries de Fourier et leurs propriétés. Contrairement à ce qui a été fait en L2, l’approche sera peu calculatoire, et on s’intéressera plutôt aux résultats de convergence abstraits, et à l’application des séries de Fourier à l’étude de la régularité de fonctions et à la résolution d’équations aux dérivées partielles.
- Enfin, on découvrira les propriétés de certaines « fonctions spéciales », qui sont omniprésentes en mathématiques : la fonction zeta de Riemann et la fonction Gamma.

Course's manager(s)

Maxime Ingremeau

In class

  • 12h of lectures
  • 18h of directed studies

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Savoir démontrer qu'une série est convergente, par exemple à l'aide du critère de Riemann.
  • Connaitre la différence entre série (ou intégrale) absolument convergente et convergente.
  • Savoir déterminer si une suite de fonction converge simplement ou uniformément.
  • Savoir manipuler les exponentielles complexes (par exemples, dans des calculs d'intégrales)

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • Effectuer une transformation d'Abel pour montrer la convergence d'une série.
  • Déterminer un équivalent ou un encadrement du reste d'une série convergente (ou de la somme partielle d'une série divergente).
  • Choisir la définition des fonctions zeta et Gamma la mieux adaptée au problème considéré.
  • Déterminer le mode de convergence d'une série de Fourier à partir de la régularité de la fonction associée.
  • Calculer les coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
  • Effectuer le produit de Cauchy de deux séries.

CONTENT

  • Dans ce chapitre, nous verrons le lemme de Cesàro, la transformation d'Abel, le produit de Cauchy de séries, et l'estimation dse restes des séries.

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