UE Intégration et théorie de la mesure

CONTENT

• Chapitre 1 : Nombres et dénombrabilité

  L’objectif de ce premier chapitre est d’expliquer ce qu’est un nombre réel et d’introduire la notion d’ensemble dénombrable. Ces deux notions sont fondamentales pour la suite du cours.

• Chapitre 2 : L'Intégrale de Riemann

  L’objectif de ce chapitre est de rappeler la construction de l’intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle compact et d’en étudier les propriétés, et les quelques inconvénients qui justifieront le développement d’une théorie de l’intégration plus puissante, la théorie de Lebesgue.

• Chapitre 3 : La mesure de Lebesgue

  L’objectif de ce chapitre est de construire la mesure de Lebesgue sur la droite réelle et d’introduire les notions de tribus et de mesures. Ces notions sont à la base de la théorie de l’intégration de Lebesgue présentée dans le chapitre suivant.

• Chapitre 4 : L'Intégrale de Lebesgue

  Nous développons dans ce chapitre la théorie de l’intégration de Lebesgue pour des fonctions définies sur la droite réelle et à valeurs dans la droite réelle achevée. 

• Chapitre 5 : Théorèmes de convergence

  Nous présentons les principaux théorèmes de convergence à connaitre, les démontrons et les illustrons par des exemples.

• Chapitre 6 : Intégration de Lebesgue en plusieurs variables

  Après avoir vu dans les chapitres précédents la construction de la mesure, de la tribu et de l’intégrale de Lebesgue pour des fonctions d'une variable, on développe la théorie de l’intégration de Lebesgue pour des fonctions de plusieurs variables. Comme cette théorie s’applique dans tout espace muni d’une mesure pour une certaine tribu, on commence par présenter la théorie pour ce type d’espaces.

• Chapitre 7 : Théorèmes de Fubini et de changement de variable

  L’objet de ce chapitre est de présenter deux résultats fondamentaux très utiles entre autres pour calculer des intégrales en plusieurs variables.

• Chapitre 8 : Intégrales à paramètres et convolution

  Ce chapitre, très court, donne des résultat de continuité et de dérivabilité sous l’intégrale essen- tiellement basé sur le Théorème de convergence dominée et propose une introduction à la notion de convolution.

• Chapitre 9 : Espaces L^p

  Ce chapitre est consacré à une introduction à la théorie des espaces L^p, espaces fonctionnels parmi les plus fondamentaux en analyse mathématique.

• Chapitre 10 : Introduction à la transformée de Fourier

  Ce chapitre est consacré à une petite introduction à la transformée de Fourier en une variable. Nous allons nous appliquer à voir les principales propriétés de la transformée de Fourier et voir quelle peut être son application à l’étude des équations aux dérivées partielles.