UE Introduction à l'analyse fonctionnelle

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• 1 - Rappels sur R

  Ce chapitre, bien qu’élémentaire est indispensable à la bonne compréhension du cours, car R est d’une part l’espace fondamental de l’analyse et d’autre part se trouve être le modèle sur lequel les différentes notions du cours seront testées.

  1. L'ensemble des nombres réels.

  Définition axiomatique.

  Caractérisation de la borne supérieure/inférieure. Intervalles de R. Propriétés.

  2. Suites de nombres réels.

  Définition d'une suite/suite convergente. Définitions de la limite supérieure/inférieure d'une suite. Premières propriétés.

   Définition d'une suite de Cauchy. Théorème dans R.

• 2 - Les espaces métriques

  1. Distance.

  1.1. Définition d'une distance/métrique, d'un espace métrique, premiers exemples et premières propriétés.

  Définitions de boules ouvertes ou fermées.

  D'autres exemples de distances : discrète, "uniforme sur un ensemble A" pour l'espace des applications bornées sur A, provenant de l'intégration de Lebesgue pour les fts continues sur un segment de R.

  Définition d'une partie bornée. Notion de diamètre. Exemples.

  Distance induite. Distance produit.

  1.2.  Espaces vectoriels normés.

  Définition d'une norme. Distance provenant d'une norme. Exemples.

  2. Espaces métriques.

  2.1. Voisinages.

  Définition et premières propriétés. Propriété de séparation. Exemples.

  Distances topologiquement équivalentes.

  2.2. Ouverts, fermés.

  Définitions. Propriétés. Exemples.

  2.3. Intérieur, extérieur, frontière, adhérence.

  Définitions et propriétés. Exemples.

  Notion de densité.

  2.4. Distance induite.

  Définition et propriétés des voisinages, ouverts, fermés pour une distance induite. Exemples.

  2.5. Suites dans un espace métrique.

  Définitions d'une suite, de la limite d'une suite, d'une valeur d'adhérence d'une suite,  d'une suite extraite. Propriétés. Exemples. Caractérisation de l'adhérence d'une partie/d'un fermé, d'un espace métrique, en terme de suites.

  3. Applications continues. Homéomorphismes.

  3.1. Continuité en un point.

  Définition. Caractérisation en terme de voisinages.

  Propriétés : en relation avec l'adhérence, la composition.

  3.2. Applications continues et homéomorphismes.

  Définition. Caractérisation de la continuité en relation avec les images réciproques de parties ouvertes/fermées. Exemples.

  Définition d'un homéomorphisme et propriété en lien avec les distances topologiquement équivalentes.

  3.3. Continuité et limite.

  Caractérisation de la continuité en un point en terme de suites.

  4. Métrique produit.

  Définition et exemples. Projections.

  Continuité d'une application à valeurs dans un espace produit ou définie sur un espace produit. Exemples. Graphe d'une application.

• 3 - Les espaces compacts

  1. Définition de la compacité.

  Définition d'un recouvrement ouvert, fini, extrait.

  Définition de la compacité à l'aide de la propriété de Borel-Lebesgue.

  Exemples. Premières propriétés.

  Propriété de Bolzano-Weierstrass. Propriété des réverbères.

  Autres propriétés des espaces compacts (espace borné, espace séparable). Exemples.

  Produit d'espaces compacts.

  Suites dans un espace compact.

  2. Parties compactes.

  Lien avec le fait d'être fermé, borné. Exemples.

  Situation dans R^n.

  3. Compacité et continuité.

  L'image continue d'un compact.

  Distance entre deux compacts disjoints.

  Compacité et homéomorphisme.

  Compacité, continuité et graphe.

  Compacité, continuité et uniforme continuité : théorème de Heine.

   

   

• Contrôle intermédiaire
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• 4 - Les espaces connexes

  1. Définition et propriété.

  Définition, premières propriétés et exemples.

  Propriété des "epsilon-chaînes". Lien avec la compacité.

  Produit d'espaces et connexité.

  2. Parties connexes.

  Définition et caractérisation.

  Les parties connexes de R.

  Propriétés de la connexité en lien avec l'opération "union", avec l'adhérence. Exemples.

  3. Espaces connexes et applications continues. Espaces connexes par arcs.

  Image continue d'un connexe. Retour sur le théorème des valeurs intermédiaires.

  Définition de la connexité par arcs. Lien avec la connexité. Exemples.

  4. Composantes connexes.

  Définition, exemples, propriétés.

  Parties ouvertes de R.

• 5 - Les espaces métriques complets

  1. Définitions et premières propriétés.

  Définition d'une suite de Cauchy dans un espace métrique.

  Définition d'un espace métrique complet. Exemples. Propriétés.

  Lien avec la compacité et la propriété des réverbères.

  Produit d'espaces complets. Exemples.

  2. Parties complètes.

  Définition.

  Lien entre partie complète et partie fermée.

  3. Espaces complets et applications continues.

  Retour sur l'uniforme continuité.

  Propriétés d'une application uniformément continue en lien avec les suites de Cauchy et les diamètres d'ensembles.

  Uniforme continuité et complétude.

  Retour sur Rⁿ

  Prolongement d'application uniformément continue et complétude.

  4. Théorème du point fixe de Banach et applications

  4.1.

  Définition d'une application contractante.

  Théorème du point fixe de Banach.

  Exemples.

  Applications à l'inversion des matrices.

  4.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz.

  5. Théorème de Baire et applications.

  Retour sur les notions de densité et d'intérieur vide.

  Théorème de Baire.

  Applications aux fonctions continues/dérivables.

  Exemples.

• 6 - Les espaces fonctionnels

  1. Convergence simple et convergence uniforme d'une suite de fonction.

  Définitions, premières propriétés et exemples.

  Théorème de Dini.

  2. Théorème d'Ascoli.

  Définition de l'équicontinuité d'une famille de fonctions continues.

  Théorème d'Ascoli.

  Applications aux fonctions lipschitziennes.

  3. Théorème de Stone-Weierstrass.

  Enoncé général.

  Cas des fonctions continues sur un compact de Rⁿ, à valeurs dans R ou C : approximables par des polynômes.

  Cas des fonctions continues sur R, à valeurs dans R ou C et périodiques : approximables par des polynômes trigonométriques.

   

   

  
   

• 7 - Les espaces vectoriels normés

  1. Généralités

  Rappel de la définition d'une norme.

  Premières propriétés d'une norme et d'un espace vectoriel normé (et de ses sous-espaces).

  Définition de normes équivalentes. Premières propriétés. Exemples.

  2. Espaces vectoriels de dimension finie.

  Equivalence de toutes les normes.

  Complétude.

  Caractérisation des parties compactes.

  La boule unité fermée d'un espace vectoriel normé de dimension infinie.

  3. Espaces de Banach.

  Définition.

  Complétude des espaces de fonctions bornées, de fonctions continues et bornées.

  4. Séries dans un espace vectoriel normé.

  Définitions de la convergence et de l'absolue convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé.

  Lien entre convergence et absolue convergence.

  Application : exponentielle de matrice.

  5. Applications linéaires continues.

  Caractérisation de la continuité d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés généraux.

  Prolongement d'une application linéaire continue, à valeurs dans un espace de Banach.

  Caractérisation des formes linéaires.

  6. L'espace des applications linéaires continues.

  Définition de la norme d'une application linéaire continue.

  Complétude.

   

   

• 8 - Les espaces L^p et l^p

  0. Rappels sur la théorie de la mesure.

  1. Définition, inégalités de Hölder et de Minkowski.

  Définition des espaces L^p muni de la norme ||.||_p, pour p>=1.

  Définition de l'espace L^infini muni de la norme ||.||_infini.

  Inégalité de Young. Inégalités de Hölder, de Hölder itérée,  de Schwarz et de Minkowski.

  2. Complétude des espaces L^p.

  Théorème de Fischer-Riesz.

  3. Densité dans L^p des fonctions continues à support compact pour p fini >=1.

  4. Convolution et inégalité de Young.

  Définition et premières propriétés.

  Inégalité de Young.

  Cas de la convolution dans L¹.

  5. Densité des fonctions lisses pour p fini >=1.

  6. La transformée de Fourier dans L¹.

  Définition.

  Théorème de Riemann-Lebesgue.

  Exemples.

  Transformation de Fourier et dérivation.

  Convolution dans  L¹.

  Injectivité de la transformation de Fourier

   

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