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UE MATH S4 : Algèbre
ECUE's code : SPUM42
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français
PRESENTATION
Dans la première partie du cours Algèbre on approfondit les structures algébriques introduites dans le cours Compléments d'Algèbre. Les notions clés sont celles de sous-groupes distingués et idéaux. Afin de pouvoir introduire ces notions proprement, on étudie les relations d'équivalence. On considère ensuite des relations d'équivalence dans la théorie des groupes qui mènent vers la notion de sous-groupe distingué d'un groupe. Nous étudions également la structure d'ensemble quotient dans le context des anneaux. Des anneaux avec propriétés spéciales sont ensuite étudiés et des applications, en arithmétique, en algèbre linéaire, sont illustrées.
La deuxième partie du cours est la suite de la partie algèbre linéaire du cours Fondements Mathématiques 3 où la notion d'endomorphisme/matrice diagonalisable a été introduite. Dans le cours Algèbre nous travaillons avec des matrices carrées réelles ou complexes et avec des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie sur R ou C. On étudie d'autres formes de réduction comme la trigonalisation, la réduction en blocs caractéristiques, la décomposition de Dunford et la réduction de Jordan.
Course's manager(s)
Ann Lemahieu , Adam Parusinski
In class
- 24h of lectures
- 48h of directed studies
PREREQUISITES
Before the start of the course, I must ...
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réaliser les tests de positionnement 1, 2 et 4 dans la rubrique "Chapitre 1 : Groupes : 1. et 2. Rappels et compléments" sur Moodle afin de faire le point sur les connaissances issus de précédents modules que je devrais avoir pour aborder ce cours. Il est donc fortement recommandé de les faire.
OBJECTIVES
By the end of this course, I should be able to...
- Exploiter différentes caractérisations des endomorphismes nilpotents pour démontrer une propriété mathématique.
- Calculer des classes à gauche et des groupes quotients.
- Mémoriser les définitions et les principales propriétés des groupes classiques afin de démontrer de nouvelles propriétés simples les mettant en jeu.
- Mémoriser les définitions et les principales propriétés des groupes finis classiques afin de constituer une culture mathématique sur les groupes.
- Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d'un endomorphisme/d'une matrice.
- Utiliser les quotients d'anneaux pour construire des corps finis.
- Réduire un endomorphisme/une matrice en le/la diagonalisant, trigonalisant ou en le/la mettant sous forme de Jordan ou en donnant la décomposition de Dunford, en vue notamment de calculer la puissance n-ième d'une matrice.
- Restituer les démonstrations des principales propriétés dans l'étude des sous-groupes distingués et dans l'étude de divisibilité dans les anneaux.
CONTENT
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Partie I : Groupes : Rappels et compléments
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Partie I : Relations d'équivalence
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Partie I : Sous-groupes distingués
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Partie I : Anneaux et idéaux
No description
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Partie I : Anneaux principaux, anneaux Euclidiens
No description
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Partie II : Diagonalisation et trigonalisation des endomorphismes
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Partie II : Polynômes d'endomorphismes
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Partie II : Lemme des noyaux
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Partie II : Endomorphismes nilpotents. Décomposition de Dunford.
No description
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Partie II : Réduction de Jordan
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Important
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