La théorie des probabilités et les statistiques sont des outils mathématiques qui revêent une importance croissante en sciences (dans des domaines aussi variés que la physique, en particulier physique statistique et mécanique quantique, l'astrophysique, l'informatique et en particulier l'IA, la biologie, la chimie,...) aussi bien pour l’analyse de données et le traitement de résultats d’expérience que d’un point de vue théorique. Nous reviendrons dans une première partie sur les fondements de la théorie des probabilités en passant en revue l’axiomatique de base, les théorèmes fondamentaux et les différentes interprétations de la notion de probabilité. Dans une seconde partie nous nous intéresserons aux variables aléatoires et aux outils mathématiques rattachés qui permettent de caractériser et même de contrôler le hasard, car nous verrons qu'il est possible d'établir des quasi-certitudes sur des phénomènes pourtant aléatoires. Les distributions classiques telles que la loi binomiale, de Poisson, normale etc... seront introduites. Une troisième partie traitera de statistiques, en particulier d'estimation, qui est l'art d'inférer des valeurs à partir des données (de façon rigoureuse et fiable !) et de détection, qui est l'art de décider en fonction des données si une hypothèse mise en jeu est vraie ou non. Les performances de ces méthodes et les critères permettant de les évaluer seront expliqués. Les notions abordées en cours seront illustrées et complétées en s’appuyant sur des quizs directement posés en cours (en deuxième heure de séance), et d'un réservoir d’exercices qui seront traités en travaux dirigés et également de manière autonome par les étudiants.
1.1 Introduction
1.1.1 Approche « classique »
1.1.2 Définition à l’aide de fréquences relatives
1.2 Approche axiomatique
1.2.3 Rappels de la théorie des ensembles
1.2.4 Espace probabilisable
1.2.5 Axiomes de Kolmogorov
1.3 Probabilités conditionnelles
1.3.6 Formule de Bayes
1.3.7 Formule de « probabilités des causes »
1.4 Indépendance
2.5 Définition
2.6 Fonction de répartition
2.7 Variable continue : densité de probabilité
2.8 Caractéristiques numériques
2.8.8 Moyenne
2.8.9 Médiane
2.8.10 Variance, écart-type
2.8.11 Moments (centrés/non-centrés)
2.9 Fonction génératrices
2.10 Quelques exemples de distributions
2.10.12 Loi géometrique
2.10.13 Loi binomiale
2.10.14 Loi de Poisson
2.10.15 Loi normale
2.10.16 (Théorème de de Moivre-Laplace)
2.11 Système de variables aléatoires
2.12 Fonctions de variables aléatoires
Introduction à l'estimation statistique et aux tests d'hypothèses
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