University Côte d'azur

UE MATHS S1 : Méthodes : approche continue

ECUE's code : SPUM12

This course give 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 1
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Modélisation Continue:

 Le cours abordera des notions de base des mathématiques et des méthodes mathématiques utiles pour tous les enseignements scientifiques du portail Siences et Technologies.

Les connaissances étudiées relèvent essentiellement des fonctions définies sur des intervalles de R. La dérivation et l'étude des fonctions d'une variable réelle, par exemple, seront vues plus en profondeur qu'en Terminale.

Il y aura aussi une introduction aux fonctions de deux variables.

Course's manager(s)

, Martine Smolders-Junca

In class

  • 20h of lectures
  • 40h of directed studies

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Revoir les notions mathématiques de base d'une classe de Terminale et les notions revues en Maths0.

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • Calculer une intégrale par différentes méthodes dont utilisation d'une primitive.
  • Révision sur les intégrales et le lien avec le calcul d'aire sous une courbe.
  • Enrichir la liste des fonctions de référence avec les fonctions puissances réelles , les fonctions exponentielles de base "a" et les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques.
  • Donner l'allure du graphe d'une fonction avec recherche de comprotement asymptotique.
  • Etablir le tableau de variation d’une fonction d’une variable réelle pour en déterminer les extrema locaux et globaux ou la fonction réciproque
  • Expliquer les définitions relevant des fonctions d’une ou plusieurs variables réelles
  • Calculer les dérivées partielles ainsi que le gradient des fonctions de 2 ou 3 variables
  • Résoudre de façon exacte une équation différentielle d’ordre 1 à coefficients constants.
  • Modéliser une situation concrète ou issue d’une autre discipline à l’aide des outils d’analyse.

CONTENT

  • Suites réelles, convergence. Suites récurrentes: définition et méthodes d'étude. Introduction aux séries numériques : série exponentielle.

  • Limites et continuité des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles suivant une approche intuitive et sans démonstration:

    • limite d'une fonction en un point ou en +infini ou -infini, opérations sur les limites.
    • Continuité, opérations sur les fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, image continue d'un intervalle, théorème des bornes.
  • Dérivabilité, opérations sur les dérivées

     Applications:

    • sens de variation d'une fonction, étude d'une fonction, extrema,
    • accroissements finis,
    • approximation affine,
    • fonctions convexes et fonctions concaves .

    Introduction aux développements limités en 0 , calcul de développements limités pour une somme ou différence , de produit, de quotient de fonctions usuelles et applications de ces developements limités.

  • Fonctions usuelles :

    • cos, sin, tan,
    • fonctions puissances entières, fonctions homographiques, fonctions polynômes
    • exponentielle et logarithme, fonctions puissances réelles et fonctions exponentielles de base a .
    • Fonctions injectives, surjectives, bijectives, fonctions composées, bijection réciproque.
    • Continuité de la bijection réciproque d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles, dérivabilité et dérivation de la bijection réciproque.
    • Fonctions réciproques des fonctions puissances entières 
    • Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques : arccos, arcsin et arctan.
  • Fonctions de deux variables :

    • domaine de définition,
    • introduction à la représentation graphique de ces fonctions: courbes de niveau.
    • Dérivées partielles , vecteur gradient et lien avec les courbes de niveau.
    • Plan tangent, approximation affine.
    • Recherche d'une primitive et Intégration sur un intervalle borné d'une fonction continue.
    • Lien entre calcul d'intégrale et calcul d'aire sous une courbe.
    • Méthodes de calcul: Intégration par parties, méthode de substitution, changement de variable.

     

    • Equations différentielles linéaires d'ordre 1 homogènes
    • Equations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre

             Introduction à la méthode de la variation de la constante.

    • Equations différentielles d'ordre 2 homogènes
  • No description
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Important
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