ECUE Mathématiques 1

Ce cours est une introduction aux fonctions numériques de plusieurs variables. Notre objectif est de présenter de premiers résultats sur les problèmes d'extrema de ces fonctions numériques.  

Les notions et outils développés dans ce cours sont essentiels pour un économiste. Par exemple ils permettent de bien poser et résoudre un problème d'optimisation de profit ou de coût avec ou sans contrainte budgétaire.

Chapître 1 : Nous donnons les définitions de base de la théorie des ensembles et fixons des notations de base. Nous définissons notamment la composition de deux applications, les applications bijectives et leurs inverses, le produit d'ensembles ...

Chapître 2 : Si n est un entier, un n-uplet de réels est la donnée de n réels. Pour n=2, après un choix de repére les 2- uplets de réels s'identifient à un plan et les 3 -uplets de réels à un   l'espace géométrique. Nous avons alors  une notion de distance entre deux n-uplets de réels qui généralise la notion de distance entre deux points du plan ou de l'espace. Un sous-ensemble de n-uplets de réels est dit ouvert si quand  il contient un n-uplet, il contient les n-uplets suffisament proches. Un ensemble de  n-uplets de réels est dit fermé si son complémentaire est ouvert. Il est dit  borné si ses points sont à une distance pas trop grande d'un n-uplet donné.

Chapître 3 : Nous définissons la notion de fonction numérique continue sur un sous-ensemble de n-uplets et rappelons la notion de fonction numérique d'une variable dérivable. Quand nous disposons d'une fonction numérique de n variables sur un ouvert, si nous fixons n -1de ces variables, nous obtenons une fonction numérique d'une variable dont la dérivée est appelée dérivés partielles. 

Chapître 4 : Nous étudions les fonctions d'une variable réelle : tangente au graphe, sécante au graphe, tableau de variation ... Nous revenons sur les fonctions usuelles : logarithme, exponentielle, puissance et terminons ce paragraphe par   la notion de fonction homogène.

Chapître 5 : Nous  donnons des résultats sur les extrema  des fonctions numériques sur un ouvert de n-uplets de réels, sur les extrema d'une fonction numérique  sur un ouvert de n-uplets de réels  assujettie à une contrainte et enfin sur les extrema d'une fonction numérique continue sur un fermé borné de   n-uplets de réels.