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UE MATH: Equations différentielles

ECUE's code : SLUM500

This course give 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Le cours porte sur les équations différentielles linéaires et non linéaires.

Ces équations décrivent par exemple de nombreux phénomènes physiques, biologiques, mathématiques,...

Ils ont également été un moteur important des découvertes mathématiques que ce soit en analyse ou en algèbre afin de faire la théorie et/ou la résolution de ces équations.

Nous poserons la théorie et les outils nécessaires à ces équations. Nous verrons les cas où on peut trouver des solutions explicites. Comme ce n'est pas toujours le cas, nous ferrons également des études qualitatives et des méthodes numériques.

Course's manager(s)

Florent Berthelin , Afeintou Sangam

In class

  • 24h of lectures
  • 31.5h of directed studies
  • 4.5h of practical work

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Il est souhaitable d'avoir des connaissances sur les fonctions et un peu d'algèbre linéaire.

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • Résoudre explicitement des équations différentielles scalaires par la méthode du facteur intégrant et variation de la constante
  • Résoudre certaines équations scalaires à coefficients polynomiaux par la méthode des séries entières.
  • Résoudre des équations différentielles à variables séparables
  • Résoudre des équations différentielles linéaires scalaires de à coefficients constants
  • Tracer le portrait de phase d'un système différentiel linéaire autonome en dimension 2
  • Calculer l'exponentielle d'une matrice de petite taille
  • Savoir montrer la convergence d'une méthode numérique associée à une équation différentielle
  • Résoudre des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants en dimension 2 ou 3 en diagonalisant ou trigonalisant la matrice
  • Savoir appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz

CONTENT

  • Chapitre 1 : Introduction aux équations différentielles

    Mots clés du chapitre : notion de solutions, prolongements, solution maximale, lemme de Gronwall, équation linéaire scalaire d'ordre 1, passage de l'ordre n à l'ordre 1.

    Cela correspond à environ une semaine de cours et une semaine de TD.

    Les éléments disponibles sont :
    - polycopié du cours qui sera complété en amphi,
    - fiche de TD.

  • Chapitre 2 : Equations différentielles linéaires

    Mots clés du chapitre : matrices, valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation et réduction, normes, exponentielles de matrices, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, structure de l'ensemble des solutions, Wronskien, méthode variation des constantes, équations différentielles linéaires scalaires à coefficients constants d'ordre n, développements en séries entières pour résoudre des équations différentielles linéaires.

    Cela correspond à environ quatre semaines de cours et quatre semaines de TD.

    Les éléments disponibles sont :
    - polycopié du cours qui sera complété en amphi,
    - fiches de TD 2 à 5 et une partie de la fiche 6

  • Chapitre 3 : Etudes qualitatives des équations différentielles

    Mots clés du chapitre : champ de vecteurs, isoclines, points stationnaires, systèmes 2 x 2 d’équations différentielles linéaires à coefficients constants, noeud impropre, point selle, noeud propre, noeud dégénéré, centre, spirale.

    Cela correspond à environ une semaine de cours et une semaine de TD.

    Les éléments disponibles sont :
    - polycopié du cours qui sera complété en amphi,
    - fin de la fiche 6 de TD et début de la fiche 7

  • Chapitre 4 : Equations différentielles non linéaires

    Mots clés du chapitre : fonctions lipschitziennes, théorème de Cauchy-Lipschitz, équations différentielles à variables séparables, homogènes, d'Euler, de Bernoulli, de Riccati, équation différentielle autonome, portrait de phase, intégrale première, système hamiltonien, équation logistique

    Cela correspond à environ trois semaines de cours et trois semaines de TD.

    Les éléments disponibles sont :
    - polycopié du cours qui sera complété en amphi,
    - fiches 7 à 9 de TD.

  • No description
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