Ce cours de "Méthodes Mathématiques , Approche discrète" est une introduction à l'algèbre linéaire et à ses applications.
L’algèbre linéaire est un langage universel qui sert à décrire de nombreux phénomènes et permet de résoudre des problèmes rencontrés dans de nombreux domaines comme l'économie, la gestion , l'informatique, l'ingéniérie, la physique, l'électronique, la chimie, l'écologie, la data-science, l'intelligence artificielle, l'analyse des données, l'optimisation... par exemple.
L'algèbre linéaire est aussi utile bien sûr dans plusieurs branches des mathématiques.
C'est pour cela qu'il est important de comprendre et maîtriser les outils développés dans ce cours pour pouvoir les appliquer .
Il s'agit d'établir la définition de systèmes linéaires , de systèmes linéaires échelonnés .
La résolution de ces systèmes linéaires se fera en utilisant l'algorithme de Gauss , permettant de décrire complètement de façon algorithmique l'ensemble des solutions de ces systèmes.
Nous apprendrons à effectuer ces calculs en travaillant sur la matrice augmentée du système qui allège la présentation des calculs.
Dans ce chapitre, les opérations algébriques (addition, multiplication par un réel, produit) sur les mattrices sont définies .
A l'aide de ces opérations , nous apprendrons à formuler de façon matricielle les systèmes linéaires .
Puis la notion de matrices carrées inversibles sera introduite.
Nous apprendrons à calculer les solutions d'un système linéaire carré à l'aide de la matrice inverse du système.
Le calcul de l'inverse d'une matrice carrée sera effectué en généralisant l'algorithme de Gauss.
Le déterminant d'une matrice carrée est un outil très utile pour résoudre les systèmes linéaires carrés .
Les régles de calcul en pratique de ces déterminants seront données.
Une méthode de calcul de l'inverse d'une matrice inversible via les déterminants sera présentée.
Définition des espaces vectoriels R^n ,
Definitions de familles libres , génératrices, de bases et de dimension.
Coordonnées d'un vecteur dans une base.
Matrices de changements de bases
Espaces noyau , image d'une matrice.
Théorème du rang.
Polynôme caractéristique d'une matrice carrée ,
Valeurs propres d'une matrices carrées et vecteurs propres associés à une valeur propre.
Diagonalisation d'une matrice dans une base de vecteurs propres.
Application aux calculs de suites récurrentes , de systèmes économiques, de systèmes différentiels
Notion de produit scalaire dans R^n
Vecteurs orthogonaux, bases orthogonales et orthonormales de R^n
Construction de bases orthonormales à l'aide l'algorithme de Gram-Schmidt.
Matrices orthogonales
Diagonalisation d'une matrice dans une base orthonormale de vecteurs propres
Application aux calculs de certaines suites définies par récurrence , et à la résolution de systèmes différentiels.
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