Université Côte d'azur
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UE Suite de fonctions, calcul intégral et séries de Fourier

Code de l'ECUE : SLUM2602

Ce cours donne droit à 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques , Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 3 , Licence 2
Semestre pair
Anglais , Français

PRESENTATION

Motivation :

Le but de ce cours est de présenter des techniques d'analyse permettant d'approcher des fonctions compliquées par des fonctions plus simples. En effet, il arrive souvent que les fonctions ne soient pas données par des formules explicites. Par exemple :

- Les cours de la bourse sont souvent trop irréguliers pour pouvoir être décrits par une expression simple.

- Les solutions des équations de Newton décrivant le mouvement de plusieurs corps célestes en interaction ne peuvent pas être résolues de manière explicite.

-Quand je mesure les résultats d'une expérience physique, je n'obtiens qu'un nombre fini de résultats ; je peux ensuite relier ces points par des segments, pour obtenir une fonction affine par morceaux.

 

En présence de fonctions compliquées, il est donc primordial de pouvoir les approcher par des fonctions plus simples !

 

Qu'est ce qu'une fonction simple ? On peut penser, par exemple à une fonction constante par morceaux ou affine par morceaux, à un polynôme, à une somme de fonctions sinus et de cosinus, à des fonctions à support compact...

Qu'est ce qu'approcher une fonction ? C'est une question plus délicate. Nous verrons qu'il y a plusieurs notions d'approximation d'une fonction : ponctuelle, uniforme, en moyenne ou en moyenne quadratique... Pour chaque problème, il y a une notion d'approximation qui est la mieux adaptée !

 

Public :

Ce cours est un cours de mathématiques appliquées. Il n'est donc pas nécessaire d'avoir un bagage mathématique très poussé pour le suivre. Nous ne démontrerons pas tous les résultats que nous présenterons, mais nous essaierons de donner des idées de preuve dès que possible.

Ce cours doit permettre aux étudiants qui l'ont suivi d'avoir les connaissances nécessaires en analyse pour suivre ensuite le master d'Ingénierie Mathématique.

 

En bonus

Même si ce cours devait être le dernier cours de maths que vous suiviez, il vous permettra d'avoir plus de recul sur tout ce que vous avez appris dans cette discipline... depuis le collège ! Ainsi, vous apprendrez :

  • Pourquoi l'aire d'un disque est égale à pi fois le carré du rayon.
  • Comment le nombre pi peut être calculé en pratique.
  • Comment les notions géométriques de distance et d'angle peuvent être généralisées pour parler de fonctions.
  • Pourquoi les cosinus et les sinus ne sont pas utiles uniquement en géométrie... mais aussi en musique !

Responsable(s) du cours

Maxime Ingremeau

Présentiel

  • 24h de cours magistral
  • 48h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Savoir dériver une fonction
  • Connaitre les propriétés élémentaires des exponentielles complexes
  • Savoir déterminer si une série est convergente ou divergente.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Approcher une fonction de la manière la mieux adaptée, par des polynômes, des fonctions affines par morceaux, des polynômes trigonométriques
  • Utiliser les séries de Fourier et les transformées de Fourier pour résoudre divers problèmes mathématiques et physiques
  • Calculer des intégrales simples et multiples, de façon exacte ou approchée, à l'aide des techniques usuelles : intégration par parties, théorème de Fubini, changements de variables, méthodes des rectangles et des trapèzes...
  • Reconnaitre, à l'aide de la définition ou à l'aide des propriétés qu'ils impliquent, les différents types de convergence des suites de fonctions : convergence simple, uniforme, dans les espaces de Lebesgue...

CONTENU

  • Dans ce chapitre, nous étudierons les fonctions polynômiales réelles et complexes. Par bien des aspects, ce sont les fonctions les plus simples à étudier : il est simple de calculer leurs dérivées et leurs primitives, on sait combien de zéros elles possèdent, il est simple de les factoriser...

     

    On s'intéressera ensuite à l'interpolation polynômiale, c'est à dire à l'existence de polynômes prenant des valeurs prescrites en des points donnés. On cherchera ensuite à comprendre s'il est possible d'approcher efficacement une fonction par des polynômes interpolant entre ses valeurs en différents points.

  • Dans ce chapitre, nous commencerons par revoir les techniques usuelles pour calculer des intégrales en dimension 1 : l'intégration par parties, et les changements de variable. Nous verrons ensuite plusieurs méthodes de calculer numérique d'intégrales (c'est-à-dire à l'aide d'un ordinateur) ; ceci est particulièrement utile pour calculer des intégrales faisant intervenir des fonctions dont la primitive ne peut pas être exprimée explicitement.

     

    Enfin, nous verrons comment l'intégrale d'une fonction continue sur un segment peut être généralisée : nous apprendrons à intégrer des fonctions continues sur des intervalles quelconques, et même à intégrer des fonctions discontinues !

     

    Nous étendrons finalement ces notions au calcul d'intégrales en dimension supérieure, à l'aide du théorème de Fubini, et nous étudierons les espaces de Lebesgue.

  • Le but du chapitre est de donner un sens à la phrase "La suite de fonctions f_n converge vers f".

    On s'interessera tout particulièrement à la possibilité de prendre la limite d'une suite de fonctions dans un calcul d'intégrales.

  • Dans ce chapitre, on s'intéressera à des fonctions pouvant s'écrire sous la forme d'une intégrale dépendant d'un paramètre.

    Un cas particulier important est celui de la transformée de Fourie, qui permet de décrire une fonction en terme de ses oscillations, et est un outil essentiel pour les équations aux dérivées partielles, mais aussi en théorie du signal, en probabilités...

  • Le but de ce chapitre est de comprendre pourquoi toute fonction périodique peut être approchée par des polynômes trigonométriques, c'est-à-dire par des sommes de sinus et de cosinus.

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.