Université Côte d'azur

ECUE Mathematiques 2

Code de l'ECUE : IPEMAT3

PORTAIL ECONOMIE GESTION
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Saint Jean d'Angély
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Le cours est une introduction aux techniques d'algèbre linéaire utile en économie.

Voici les différents thèmes qui seront abordés:

- Chapitre 1. Bases de \(\mathbb{R}^n\): Opérations sur les vecteurs, Notions de combinaison linéaire. Bases.

- Chapitre 2. Calcul Matriciel: Opérations sur les matrices, matrices inversibles, matrice associée à une famille de vecteurs.
- Chapitre 3. Systèmes d'équations linéaires: Matrice associée au système, Méthode du Pivot de Gauss, Applications.

- Chapitre 4. Déterminants: d'une famille de vecteurs, d’une matrice, calculs de déterminants et applications.

- Chapitre 5. Diagonalisation des matrices: Caractérisation des valeurs propres, polynôme caractéristique, structure des sous-espaces propres, caractérisation des matrices diagonalisables.

- Chapitre 6. Récurrences linéaires à plusieurs variables: Résolution explicite, étude asymptotique, récurrences linéaires avec second membre.

- Chapitre 7. Etude des points critiques des fonctions de plusieurs variables: Rappels sur les fonctions d'une variable, fonctions de plusieurs variables, Matrices
symétriques, application à l'étude des extrema locaux.

Responsable(s) du cours

Erwann Aubry

Présentiel

  • 20h de cours magistral
  • 10.5h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Avoir suivi le cours de math1.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Appliquer les techniques élémentaires d’algèbre linéaires à l’étude de modèles simples rencontrés en économie

CONTENU

  • On donne la définition des vecteurs de R^n, on rappelle les opérations élèmentaires que l'on peut faire sur les vecteurs, puis on définit la notion de combinaison linéaire et de base de R^n.

  • On donne la définition des matrices, on rappelle les opérations élèmentaires que l'on peut faire sur les matrices, puis on définit la notion de matrice d'une famille de vecteurs et de matrice inversible.

  • On apprend à résoudre efficacement les systèmes d'équations linéaires. On applique cela à l'inversion des matrices carrées.

  • Dans ce chapitre, nous définissons le déterminant d'une famille de vecteurs et le déterminant d'une matrice. Nous apprenons à calculer ces déterminants, puis à les utiliser pour caractériser les bases de R^n et les matrices inversibles. Nous apprendrons aussi à calculer l'inverse d'une matrice ou les solutions d'un système linéaire en utilisant des déterminants.

  • Dans ce chapitre, après avoir défini les notions de valeurs propres et vecteurs propres des matrices carrées, nous apprendrons à calculer les valeurs propres d'une matrice et à calculer les espaces propres associés. Puis nous étudierons les matrices diagonalisables et donneront des critères pratiques pour déterminer si une matrice est diagonalisable ou pas.

  • Dans ce chapitre, nous étudions les récurrences linéaires qui interviennent dans de nombreux modèles d'évolution dynamique discrets. Après avoir appris à les résoudre explicitement dans le cas où la matrice associée est diagonalisable, nous nous intéresserons à la détermination du comportement asymptotique du modèle dans le cas général, dans le cas diagonalisable et dans le cas des matrices positives (modèles de Perron Frobenius). Nous finissons le chapitre par l'étude des récurrences linéaires avec second membre.

  • Dans ce chapitre, nous étudions les extrema de fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles. Après avoir rappelé que ces extrema sont nécessairement atteints en des points critiques de la fonction, nous énonçons les conditions nécessaires et les conditions suffisantes vérifiées par la matrice Hessienne en un extremum local. Cette matrice est une matrice symétrique et ces conditions portent sur le signe des valeurs propres de ses valeurs propres. Il s'agit de la généralisation à un nombre quelconque de variables des résultats vus pour les fonctions de 2 variables en L1.

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.