Université Côte d'azur
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UE MATH: Théorie de la mesure et intégration

Code de l'ECUE : SLUM501

Ce cours donne droit à 6.0 ECTS.
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

L’objet de ce cours est de développer et manipuler la notion d’intégrale associée à une mesure. Afin d’être aussi concret que possible, nous allons prendre comme fil conducteur la construction de l’intégrale de Lebesgue sur l’ensemble des réels en une ou plusieurs dimensions. Cette intégrale correspond à une extension de l’intégrale de Riemann plus consistante et plus stable, qui pose les bases de nombreux domaines des mathématiques tels que l’analyse fonctionnelle, la théorie des équations aux dérivées partielles, ou encore la théorie des probabilités.

Responsable(s) du cours

, Ludovic Rifford

Présentiel

  • 24h de cours magistral
  • 36h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Réaliser le test d'auto-positionnement pour ce cours ici : https://lms.univ-cotedazur.fr/mod/quiz/view.php?id=99759
  • Avoir des bases solides sur la topologie de la droite réelle, les suites et séries numériques et les suites et séries de fonctions, et les connaissances de base en calcul différentiel. Cela correspond aux compétences acquises jusqu'ici dans le domaine de l'analyse mathématique.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Expliciter les propriétés des ensembles de nombres (entiers, rationnels, réels, complexes)
  • Montrer qu'un ensemble donné est ou n'est pas dénombrable
  • Montrer qu'une fonction d'une variable est intégrable au sens de Riemann et calculer le cas échéant son intégrale en appliquant le Théorème fondamental de l'analyse et ses conséquences
  • Décrire la construction de la mesure et de l'intégrale de Lebesgue
  • Appliquer les théorèmes de convergence et les théorèmes de Tonelli, Fubini et du changement de variable
  • Manipuler des intégrales à paramètres et des produits de convolution
  • Travailler dans les espaces fonctionnels dits L^p et manipuler la transformée de Fourier

CONTENU

  • L’objectif de ce premier chapitre est d’expliquer ce qu’est un nombre réel et d’introduire la notion d’ensemble dénombrable. Ces deux notions sont fondamentales pour la suite du cours.

  • L’objectif de ce chapitre est de rappeler la construction de l’intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle compact et d’en étudier les propriétés, et les quelques inconvénients qui justifieront le développement d’une théorie de l’intégration plus puissante, la théorie de Lebesgue.

  • L’objectif de ce chapitre est de construire la mesure de Lebesgue sur la droite réelle et d’introduire les notions de tribus et de mesures. Ces notions sont à la base de la théorie de l’intégration de Lebesgue présentée dans le chapitre suivant.

  • Nous développons dans ce chapitre la théorie de l’intégration de Lebesgue pour des fonctions définies sur la droite réelle et à valeurs dans la droite réelle achevée. 

  • Nous présentons les principaux théorèmes de convergence à connaitre, les démontrons et les illustrons par des exemples.

  • Après avoir vu dans les chapitres précédents la construction de la mesure, de la tribu et de l’intégrale de Lebesgue pour des fonctions d'une variable, on développe la théorie de l’intégration de Lebesgue pour des fonctions de plusieurs variables. Comme cette théorie s’applique dans tout espace muni d’une mesure pour une certaine tribu, on commence par présenter la théorie pour ce type d’espaces.

  • L’objet de ce chapitre est de présenter deux résultats fondamentaux très utiles entre autres pour calculer des intégrales en plusieurs variables.

  • Ce chapitre, très court, donne des résultat de continuité et de dérivabilité sous l’intégrale essen- tiellement basé sur le Théorème de convergence dominée et propose une introduction à la notion de convolution.

  • Ce chapitre est consacré à une introduction à la théorie des espaces L^p, espaces fonctionnels parmi les plus fondamentaux en analyse mathématique.

  • Ce chapitre est consacré à une petite introduction à la transformée de Fourier en une variable. Nous allons nous appliquer à voir les principales propriétés de la transformée de Fourier et voir quelle peut être son application à l’étude des équations aux dérivées partielles. 

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.