UE PHYSIQUE: Electromagnétisme et circuits électriques 2

CONTENU

• RAPPELS MATHEMATIQUES

  1) Série de Taylor.

  2) Systèmes de coordonnées à 3 dimensions : cartésien, cylindrique, sphérique.

  3) Champs scalaires, champs vectoriels.

  4) Intégrales curvilignes, intégrales de surface.

  5) Calcul vectoriel : gradient, divergence, rotationnel, laplacien.

  6) Convention d'Einstein, symbole de Kronecker, symbole de Levi-Civita, application au calcul vectoriel.

  7) Théorème de Green : application à l'intégrale de volume de la divergence, à l'inégrale de surface du rotationnel et à l'intégrale de chemin du gradient.

  8) Présentation sommaire de la distribution delta de Dirac et de ses propriétés. Formule du laplacien de 1/r.

  9) Rappels d'Electrostatique. Champ E(r) coulombien. Cas général : champ E(r) engendré par une distribution de charges indépendante du temps. Potentiel scalaire V(r). Equations de Maxwell globales et locales pour l'Electrostatique. Equation de Poisson pour V(r).

• Chapitre 1 : MAGNETOSTATIQUE

  1) Loi de Biot et Savart. Application : champ B(r) crée par un fil rectiligne infini, champ B(r) crée par une spire circulaire sur son axe de symétrie.

  2) Densités de courant surfaciques js(r) et volumiques j(r) indépendantes du temps. Champs B(r) crée par ces densités.

  3) Equations de Maxwell pour la magnétostatique : forme globale ( théorème d'Ampère, B(r) est à flux conservatif ). Forme locale.

  4) Introduction du potentiel vecteur A(r). Equation de Poisson pour A(r).

  5) Notions de symétrie et d'invariance.

• Chapitre 2 : DIPOLE MAGNETIQUE

  1) Rappels sur le dipole électrique ( cas statique ). Expression du potentiel V(r) loin de la source : développement de V(r) en 1/r2.  Vecteur polarisation P. Champ électrostatique dipolaire : formule générale, expression en coordonnées polaires. Lignes de champ en coordonnées polaires.

  2) Expression du potentiel A(r) loin de la source j(r) : développement de A(r) en 1/r2. Vecteur moment magnétique M. Expression de A, puis de B(r), formule générale, puis en coordonnées polaires. Lignes de champ en coordonnées polaires.

  3) Calcul de la moyenne d'un champ magnétique statique quelconque à l'intérieur d'une sphère contenant des courants statiques  j. Application au calcul de B(r) dipolaire : il manque un delta de Dirac à l'origine, que l'on calcule.

• Chapitre 3 : INDUCTION

  1) Charges en mouvement dans un circuit. Force électromotrice définie sur une boucle de courant.

  2) Expérience de Faraday : force électromotrice induite par la variation d'un flux magnétique statique au travers d'un circuit rectangulaire en mouvement.

  3) Généralisation à un circuit de forme quelconque. Equation de Maxwell locale, dite de Faraday.

  4) Inductance mutuelle entre deux circuits. Formule de Neumann.

• Chapitre 4 : EQUATIONS DE MAXWELL EN PRESENCE DE CHARGES ET DE COURANTS VARIABLES DANS LE TEMPS

  1) Problème avec la loi d'Ampère : terme correctif de Maxwell. Au final, on a quatre équations de Maxwell, données sous forme globale et locale.

  2) Loi de conservation du courant.

  3) Puissance volumique reçue par le champ électromagnétique venant de charges en mouvement. Densité volumique d'énergie électromagnétique et vecteur de Poynting. Equation de conservation locale de l'énergie électromagnétique

  4) Relations de passage entre deux milieux, pour E(r; t) et B(r; t).

  5) Potentiels électromagnétiques V(r; t) et A(r; t). Equations aux dérivées partielles. Transformation de jauge pour V et A, invariance de jauge pour E et B. Equations pour V(r; t) et A(r; t) dans la jauge de Lorenz. Généralisation de l'équation de Poisson : équation de d'Alembert.

  6) Résolution des équations de d'Alembert pour V(r; t) et A(r; t) dans la jauge de Lorenz. Potentiels retardés et avancés. Approximation des régimes quasi-stationnaires.

• Chapitre 5 : EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE

  1) Equations pour E , B, V et A lorsque les charges et courants sont nuls. Elles sont du type ( en cartésien ) : équation de d'Alembert homogène ou équation d'onde.

  2) Exemple en Mécanique : la corde vibrante ( approximation des petits déplacements ).

  3) Solutions en ondes planes.

  4) Solutions générales en ondes progressives.

  5) Ondes sphériques.

  6) Ondes planes progressives monochromatiques. Notation réelle en cosinus. Amplitude, période temporelle : période, période spatiale : longueur d'onde, pulsation, vecteur d'onde, phase à l'origine. Phase et vitesse de phase. Notation complexe.

• Chapitre 6 : ONDES ELECTROMAGNETIQUES PLANES

  1) Caractère transverse des champs E (r; t) et B(r; t) dans le cas d'une onde électromagnétique plane. Considérations énergétiques.

  2) Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques. Solutions réelles et complexes. Considérations énergétiques : densité d'énergie électromagnétique et vecteur de Poynting. Moyennes temporelles.

  3) Polarisation. Cas général ( elliptique ). Polarisation linéaire et circulaire.

• Lecture suggérée

  http://ressources.unisciel.fr/sillages/physique/electromagnetisme_2a_pc/res/Bcomplements.pdf

  http://ressources.unisciel.fr/sillages/physique/electromagnetisme_2a_pc/res/eqlocalesem.pdf

  http://ressources.unisciel.fr/sillages/physique/electromagnetisme_2a_pc/res/ind-em.pdf

  http://ressources.unisciel.fr/sillages/physique/ondes_electromagnetiques/res/Ondes_EM-vide.pdf

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