Définition d'espace vectoriel et définition de sous-espaces vectoriels de R^n et sous-espaces vectoriels d'espaces de fonctions , de suites , de polynômes, de matrices.
Ce cours est une généralisation des notions d'espaces vectoriels , de bases , d'applications linéaires , de produits scalaires .
Ce cours présente enfin les espaces euclidiens et les applications de la projection orthogonale pour établir la méthode d'approximation au sens des moindres carrés et les approximations de Fourier de fonctions.
Définition d'espace vectoriel et définition de sous-espaces vectoriels de R^n et sous-espaces vectoriels d'espaces de fonctions , de suites , de polynômes, de matrices.
Définition de bases d' un espace vectoriel
Définition de dimension
Somme directe d'espaces vectoriels
Matrice d'une application linéaire
Déterminer la matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base
Détermination des espaces noyau et image d'une apllication linéaire
Application du théorème du rang
Déterminer si une application linéaire est une bijection.
Déterminer dans ce cas l'application inverse et la matrice de cette application inverse.
Définition d'un produit scalaire : exemples dans différents espaces vectoriels.
Définition de bases orthonormales
Construction de bases orthonormales par l'algorithme de Gram-Schmidt
Définition de la projection orthogonale et Détermination du projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel
approximation au sens de la norme minimale.
Approximation au sens des moindres carrés
Approximation de Fourier d'une fonction
Formes quadratiques , Lagrange
Formes quadratiques définies positives, et négatives