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ECUE MIASHS: Analyse 2 pour les Sciences Appliquées

Code de l'ECUE : SPEA403

Ce cours appartient à UE MIASHS : Analyse numérique 1 et Analyse 2 pour les SA (6 ECTS) qui contient 3 ECUE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Ce cours est destiné aux étudiants L2 MASS de l'UniCA. Il est constitué de trois parties : les séries numériques, les intégrales généralisées, les suites et les séries de fonctions.

Dans la première partie, en partant de la notion de convergence d'une suite numérique, nous donnerons "du sens" à la somme d'une infinité de nombres. Nous étudierons des critères d'existence d'une telle somme que nous essaierons de calculer lorsque c'est possible (malheureusement, ce sera rarement le cas).

Dans la deuxième partie, nous étendrons la notion d'intégrale d'une fonction continue (par morceaux) sur un intervalle [a,b] de longueur finie à une fonction qui est infinie en un ou plusieurs réels et/ou à un intervalle de longueur infinie. Puis, nous verrons des critères qui permettent de dire si cette intégrale "généralisée" existe. Puis, nous la calculerons lorsque c'est possible.

Dans la troisième partie, nous aborderons les suites de fonctions. Nous verrons que la notion de convergence simple n'est pas suffisante pour que les limites héritent des propriétés des suites de fonctions ou pour permuter des symboles mathématiques. Nous introduirons la notion de convergence uniforme pour pallier cette insuffisance. Pour finir, nous utiliserons les différents concepts développés pour les séries numériques et les suites de fonctions pour traiter les séries de fonctions.

Responsable(s) du cours

Présentiel

  • 12h de cours magistral
  • 18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Faire le test initial de positionnement disponible sur la page Moodle : onglet "Test de positionnement initial"
  • Réviser les notions suivantes vues en première année et qui seront utiles pour ce cours : les suites numériques (convergence, suite de Cauchy, ...), la borne supérieure, l'intégrale de Riemann et les différentes techniques de calcul, les développements limités usuels à l'origine, les fonctions trigonométriques et leurs fonctions réciproques.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Identifier les séries numériques de référence (géométriques, de Riemann, de Bertrand, série harmonique, série harmonique alternée).
  • Étudier la convergence d'une série numérique en utilisant le critère le plus approprié.
  • Explorer la convergence d'une intégrale généralisée et calculer sa valeur lorsque c'est possible.
  • Distinguer la convergence simple, la convergence absolue et la convergence uniforme d'une suite de fonctions.
  • Mettre en œuvre les résultats concernant la continuité et la dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions, la permutation des symboles limite et intégrale, et limite et dérivation.
  • Comprendre la convergence simple, la convergence absolue, la convergence uniforme et la convergence normale d'une série de fonctions.
  • Dériver et intégrer terme à terme la somme d'une série de fonctions.

CONTENU

  • Convergence, convergence absolue, séries géométriques, séries de Riemann, critères de convergences des séries à termes positifs, critère des séries alternées, critère d'Abel, séries semi-convergentes, produit des séries.

  • Convergence, convergence absolue, les intégrales (généralisées) de Riemann, critères de convergence pour les fonctions positives, semi-convergence.

  • Définition d'une suite de fonctions, convergence simple, insuffisance de la convergence simple, convergence uniforme, différents résultats lorsque la convergence est uniforme.

     

    Définition d'une série de fonctions, convergence simple, convergence uniforme, convergence normale, extension de certaines résultats dans le cadre d'une somme finie de fonctions au cas d'une somme infinie.

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.