Université Côte d'azur

ECUE PHYSIQUE S3 : Outils mathematiques 1

Code de l'ECUE : SPEP30

PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Ce cours fournit un ensemble d'outils mathématiques indispensables pour s'orienter et progresser dans  la description scientifique des phénomènes physiques, dans une optique d'ingénierie ou de recherche.

Responsable(s) du cours

, David Mary

Présentiel

  • 18h de cours magistral
  • 24h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Avoir bien compris les dérivées et les intégrales de fonctions à une variable.
  • Bien connaître les définitions des vecteurs en coordonnées cartésiennes.

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Réaliser sans erreur les opérations de base sur les vecteurs (addition, soustraction et produits scalaires).
  • Décrire les systèmes physiques de géométrie simple par les coordonnées cylindriques et sphériques, et connaître les déplacements élémentaires associés.
  • Formuler et calculer des intégrales multiples à 2D et 3D pour des problèmes de physique standards.
  • Formuler et résoudre des calculs de flux, de circulations et d’angles solides.
  • Manipuler les opérateurs différentiels de champ : gradient, divergence et rotationnel dans les trois systèmes de coordonnées.
  • Expliquer comment les opérateurs différentiels de champ permettent de caractériser l’allure et l’évolution des champs dans l’espace.
  • Démontrer pourquoi la propriété de circulation conservative est liée à l’existence d’un potentiel scalaire.
  • Donner des exemples physiques où ces outils sont utilisés dans la description de phénomènes naturels en électromagnétisme, mécanique des solides et des fluides.
  • Calculer des dérivées partielles très générales, notamment pour les fonctions implicites et inverses de plusieurs variables.
  • Distinguer les formes différentielles et les différentielles totales et donner des exemples physiques.
  • Interpréter qualitativement la notion de dérivée directionnelle et savoir calculer ce type de dérivée.
  • Etablir le développement de Taylor de fonctions à plusieurs variables.
  • Définir ce que sont les intégrales curvilignes et de surface et les calculer dans des cas simples.

CONTENU

    1.  Calcul vectoriel
    • Scalaires et vecteurs
    • Projections orthogonales
    • Opérations sur les vecteurs : somme, produits scalaire et vectoriel

     

          2. Systèmes de coordonnées  

    • Coordonnées cartésiennes, cylindriques sphériques 
    • Déplacements élémentaires, éléments de surface et de volume dans chaque système


          3. Calcul intégral

    • Intégrales doubles sur des rectangles
    • Intégrales doubles et volumes
    • Intégrales doubles sur des régions générales: intégration partielle et théorème de Fubini
    • Propriétés des intégrales doubles
    • Intégrales doubles en polaires
    • Généralisations des résultats aux intégrales triples
    •  Applications : moments, position de centre de masse, moments d’inertie, calcul de masses/charges pour des densités linéiques, surfaciques et volumiques.
  • 1. Champs scalaires et vectoriels
    2. Flux circulation et angle solide
    3. Différentielles totales et formes différentielles à 2 variables et plus
    4. Opérateurs différentiels de champ : gradient, divergence, rotationnel
    5. Théorème flux-divergence (Green-Ostrgradski)
    6.  Théorème de Stokes
    7.  Champs à circulation et flux conservatifs

  • 1. Quelques concepts de topolgie : notions d’ouverts, de boules,...
    2. Fonctions de plusieurs variables réelles : notion de limite, continuité
    3. Retour sur la notion de dérivée partielle, différentiabilité
    4. Dérivation de fonctions implicites et de fonctions inverses
    5. Dérivées directionnelles et gradient
    6. Dérivées partielles de différents ordre, théorème de Schwartz
    7. Formule de Taylor pour des fonctions de deux variables et plus
    8. Maximas et minimas des fonctions à plusieurs variables
    9. Optimisation sous contrainte : multiplicateurs de Lagrange
    10. Cas général du changement de variables pour les intégrales multiples (Jacobien)

  • 1. Intégrales curvilignes
    2. Formule de Green
    3. Intégrales curvilignes, différentielles totales et potentiel vecteur
    4. Intégrales de surface, coordonnées curvilignes
    5. Retour sur le théorème de Stokes et sur le théorème de flux divergence

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