Université Côte d'azur

ECUE Mathematiques 1

Code de l'ECUE : IPEMAT1

PORTAIL ECONOMIE GESTION
Mathématiques
Campus Saint Jean d'Angély
Licence 1
Semestre pair
Français

PRESENTATION

Ce cours est une introduction aux fonctions numériques de plusieurs variables. Notre objectif est de présenter de premiers résultats sur les problèmes d'extrema de ces fonctions numériques. 

Chapître 1 : Nous donnons les définitions de base de la théorie des ensembles et fixons des notations de base. Nous définissons notamment la composition de deux applications, les applications bijectives et leurs inverses, le produit d'ensembles ...

Chapître 2 : Si n est un entier, un n-uplet de réels est la donnée de n réels. Pour n=2, après un choix de repére les 2- uplets de réels s'identifient à un plan et les 3 -uplets de réels à un   l'espace géométrique. Nous avons alors  une notion de distance entre deux n-uplets de réels qui généralise la notion de distance entre deux points du plan ou de l'espace. Un sous-ensemble de n-uplets de réels est dit ouvert si quand  il contient un n-uplet, il contient les n-uplets suffisament proches. Un ensemble de  n-uplets de réels est dit fermé si son complémentaire est ouvert. Il est dit  borné si ses points sont à une distance pas trop grande d'un n-uplet donné.

Chapître 3 : Nous définissons la notion de fonction numérique continue sur un sous-ensemble de n-uplets et rappelons la notion de fonction numérique d'une variable dérivable. Quand nous disposons d'une fonction numérique de n variables sur un ouvert, si nous fixons n -1de ces variables, nous obtenons une fonction numérique d'une variable dont la dérivée est appelée dérivés partielles. 

Chapître 4 : Nous étudions les fonctions d'une variable réelle : tangente au graphe, sécante au graphe, tableau de variation ... Nous revenons sur les fonctions usuelles : logarithme, exponentielle, puissance et terminons ce paragraphe par   la notion de fonction homogène.

Chapître 5 : Nous  donnons des résultats sur les extrema  des fonctions numériques sur un ouvert de n-uplets de réels, sur les extrema d'une fonction numérique  sur un ouvert de n-uplets de réels  assujettie à une contrainte et enfin sur les extrema d'une fonction numérique continue sur un fermé borné de   n-uplets de réels.

 

 

Responsable(s) du cours

Philippe Maisonobe , Christian Pauly , Ludovic Rifford , Joachim Yameogo

Présentiel

  • 20h de cours magistral
  • 10.5h de travaux dirigés

PREREQUIS

Pas de prérequis

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Comprendre la notion de bijections sur des cas simples
  • représenter géométriquement des sous-ensembles classiques de couples de réels (droites, demi-plans)
  • dire si certains sous-ensembles de n-uplets de réels sont des ouverts, des fermés, des bornés (par exemple ensemble de n-uplets définis par une inégalité et une fonction numérique continue)
  • calculer des dérivées partielles : fonctions polynomiales, rationnelles ....
  • montrer que certaines fonctions sont homogènes et vérifier l'identité d'Euler associée à ces fonctions
  • connaître les résultats de base sur les extrema locaux d'une fonction numérique sur un ouvert de n-uplets de réels et savoir préciser pour n=2 le comportement d'une telle fonction en un point critique
  • utiliser une condition nécessaire pour qu'une fonction numérique assujettie à une contrainte définie par une équation admette en un point un extremum
  • utiliser le résultat affirmant qu'une fonction numérique continue sur un ensemble fermé et borné de n-uplets de réels admet en des points un maximum et un minimum

CONTENU

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