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ECUE Outils mathematiques 3

Code de l'ECUE : SLEPH504

Ce cours appartient à UE Outils et methodes 3 (6 ECTS) qui contient 3 ECUE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Cette Unité d’Enseignement, « Outils Mathématiques 3 » a pour but de fournir les bagages mathématiques nécessaires aux UE de la licence de physique 3 ième année. Néanmoins, son importance va au delà de la L3 et fournit un socle théorique pour les années de master. Le cours contient une introduction aux thématiques suivantes :
— intégration dans le plan complexe,
— introduction à la théorie des distributions,
— séries de Fourier,
— transformée de Fourier.

Responsable(s) du cours

, Gilles Niccolini

Présentiel

  • 12h de cours magistral
  • 18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Maîtriser les mathématiques de L1/L2 (analyse/algèbre)

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Savoir calculer des intégrales dans le plan complexe
  • Développer des fonctions en series de Fourier
  • Calculer des transformées de Fourier
  • Utiliser séries et transformées de Fourier pour résoudre les équations usuelles de la physique mathématique

CONTENU

  • 1. Fonctions holomorphe
    2. Singularités
    3. Intégration dans le plan complexe
    — Théorème de Cauchy
    — Formule intégrale de Cauchy
    — Développement de Taylor
    — Série de Laurent
    — Théorème des résidus
    — Lemmes de Jordan

  • 1. Introduction : fonctions généralisées
    2. Un premier exemple : la distribution de Dirac
    3. Opérations sur les distributions
    4. Dérivées des distributions
    5. Distributions régulières/singulières
    6. Valeur principale
    7. Vers un peu plus de rigueur : fonctions tests, fonctionnelles linéaires
    8. Équations différentielles : application à l’électrostatique

  • 1. Définition, convergence et expression des coefficients.
    2. Forme complexe
    3. Quelques exemples
    4. Espace de Hilbert

  • 1. Intégrale de Dirichlet et la transformation de Fourier (TF) d’un dirac
    2. Propriétés de la TF
    3. Parseval-Plancherel
    4. TF et convolution
    5. TF des distributions
    6. Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson
    7. Série de Fourier
    8. Échantillonnage (théorème de Shannon)
    9. Application aux équations différentielles : fonction de Green.

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.