Université Côte d'azur
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ECUE MATH : Géométrie

Code de l'ECUE : SPEM401

Ce cours appartient à UE MATH : Analyse numérique et géométrie (6 ECTS) qui contient 2 ECUE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 2
Semestre pair
Français

PRESENTATION

La géométrie affine parle d'objets concrets : des configurations de points, de droites, de plans, etc. et des transformations qui préservent ces configurations ; elle est euclidienne lorsqu'on ajoute les notions de distance, d'angle et qu'on étudie les transformations qui les préservent. Elle fut longtemps reine dans l'enseignement des mathématiques jusqu'à l'avènement de l'algèbre linéaire ; elle reste le support intuitif, visuel de calculs algébriques abstraits.
Dans ce cours de longueur contrainte (six semaines) nous introduirons les notions spécifiques à la géométrie et nous montrerons comment l'algèbre linéaire moderne enseignée en première et deuxième année permet de répondre à des problèmes géométriques très classiques.

Responsable(s) du cours

Présentiel

  • 12h de cours magistral
  • 18h de travaux dirigés

PREREQUIS

Avant le début du cours, je dois ...
  • Savoir résoudre un système d'équation linéaire
  • Maitriser les notions d'espaces vectoriels, applications linéaires, bases, matrices, composition des applications et produit matriciel.
  • Manipuler les nombres complexes et résoudre des équations dans ℂ
  • Maitriser les notions de produit scalaire sur ℝ^n, norme, isométrie, base orthonormée, orthogonalité, projection orthogonale

OBJECTIFS

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...
  • Connaître le vocabulaire, les définitions, et l'articulation des objets de la géométrie affine et euclidienne : [sous-] espaces affines (point, droite, plan, problèmes d'intersection), repères, barycentres, applications affines (translation, homothétie, projection, symétrie, etc.), distance euclidienne, orthogonalité, angle, projection orthogonale, isométrie.
  • Paramétrer les objets et traduire en système d'équations une configuration particulière en préparation des calculs que l'on veut mener. Notamment :
  • Calculer en coordonnées : ramener un problème géométrique à la résolution d'un système d'équations linéaires. Choisir un repère adapté.
  • Utiliser l'algèbre (ou calcul) vectorielle pour étudier les configurations et les transformations, comparer son efficacité avec le calcul en coordonnées.
  • Prosaïquement se familiariser et apprendre à résoudre les exercices types qui préfigureront l'examen.

CONTENU

  • I.1 Espace affine, sous-espace affine, notamment de ℝn, repère cartésien, barycentre de n points, base affine
    I.2 Transformation affine, écriture matricielle dans un repère, préservation du barycentre, image, image réciproque d'un sous-espace affine, points fixes, composition de transformations affines, projections, symétries, exemple de groupes finis de transformations

  • II.1 produit scalaire, base orthonormée, coordonnées dans une telle base, projection orthogonale, norme euclidienne, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
    II.2 Rotation, mesure d'angle de deux vecteurs, rappel de trigonométrie.
    II.3 Paramétrisation et calculs avec les nombres complexes pour le plan euclidien ℝ2.

  • III.1 Questions de distance, transformation préservant les distances, exemple de groupes finis d'isométries, problèmes de constructions
    III.2 Questions d'angles, angle inscrit, liens entre angle et distance

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Important
Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.