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UE MASS : Systèmes dynamiques et analyse numérique

ECUE's code : SLUA501

Belong to 0 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Ce cours porte sur l'étude des équations différentielles ordinaires (EDOs) qui constituent un outil de modélisation très utilisé dans de nombreuses applications. Les lois de la mécanique et de la physique s'expriment à travers des équations différentielles, à commencer par la plus célèbre d'entre elles F=m.Gamma (2ème loi universelle de Newton (1642-1727)). L'écologie, l'épidémiologie et la physiologie ne sont également pas en reste, tout comme les activités humaines notamment l'économie, la finance, l'énergie, le transport, l'ingénierie, ...  

Disposer de la solution d'une équation différentielle (ou d'un système de plusieurs équations différentielles) permet de prédire le comportement futur du système modélisé par cette équation différentielle. Malheureusement le calcul analytique de la solution n'est possible que dans de certains cas particuliers que nous étudierons. Dans le cas général, il faut avoir recours à la simulation numérique qui permet de déterminer des solutions approchées de ces équations. Il est alors nécessaire de maîtriser la stabilité et la précision de ces  d'approximations. A l'occasion de ce cours, nous aborderons quelques aspects théoriques des EDOs, le calcul de solutions analytiques et leur approximation numérique en tentant à travers des exemples d'applications simples de transmettre certains des concepts fondamentaux de cette discipline.

Course's manager(s)

Roland Masson

In class

  • 24h of lectures
  • 24h of directed studies
  • 12h of practical work

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • Maîtriser les bases des mathématiques de niveaux L1 et L2

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • Savoir calculer la solution d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1
  • Savoir résoudre une équation différentielle non linéaire scalaire d'ordre 1 à variables séparables
  • Citer le théorème de Cauchy-Lipschitz et vérifier son applicabilité sur des exemples
  • Savoir calculer la solution de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants
  • Choisir un schéma numérique pour approcher la solution d'une équation différentielle
  • Etudier les propriétés de stabilité et de consistance d'un schéma numérique
  • Mettre en oeuvre sur ordinateur un schéma numérique explicite ou implicite pour l'approximation de la solution d'équations différentielles

CONTENT

    1. Etude des équations différentielles ordinaires
    2. Approximation numérique des équations différentielles ordinaires.
    • Calculs de solutions analytiques dans quelques cas particuliers 
    • Etude de leurs propriétés mathématiques: existence, unicité, stabilité, comportement asymptotique
    • Exemples d'applications 
    • Introduction à quelques schémas d'intégration numérique 
    • Etude de leurs propriétés mathématiques: consistance, stabilité, convergence 
    • Mise en oeuvre informatique sous python
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