University Côte d'azur
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ECUE MATH : Topologie

ECUE's code : SLEM501

Belong to 2 UE
PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Mathématiques
Campus Valrose
Licence 3
Semestre impair
Français

PRESENTATION

Le cours présente une introduction à la topologie générale.

Course's manager(s)

Clemens Berger

In class

  • 12h of lectures
  • 18h of directed studies
  • 30h of Heures personnelles

PREREQUISITES

Before the start of the course, I must ...
  • réviser la théorie des ensembles (applications injectives, surjectives, bijectives, images directes, images réciproques) et revoir les espaces vectoriels normés de dimension finie, les notions de convergence de suites et de continuité de fonctions.

OBJECTIVES

By the end of this course, I should be able to...
  • savoir la définition des espaces métriques et des espaces topologiques et la définition topologique de la continuité, reconnaître espaces compacts et espaces connexes, parties compactes de R^n, utiliser correctement le critère de compacité de Borel-Lebesgue, connaître le critère d'Ascoli de relative compacité d'un ensemble de fonctions.

CONTENT

  • Les ouverts et fermés d'un espace métriquesont introduits ainsi que la notion d'espace topologique qui en découle. La continuité d'une fonction est étudiée en comparant la définition classique basée sur la préservation de la convergence avec la définition topologique basée sur la notion d'ouverts.

  • Les suites de Cauchy sont revues avec la notion de complétude. Les espaces compacts et parties compactes sont ensuite introduits en utilisant différents critères (séquentiel, Borel-Lebesgue). Les parties compactes de R^n sont caractérisées. La relation entre complétude et compacité est étudiée (compact=complet+précompact).

  • Les notions de connexité par arcs et de connexités sont introduites, et leur relation mutuelle est discutée.Les composantes connexes d'un espace topologique sont utilisées pour montrer que certains espaces topologiques ne peuvent être homéomorphes. En particulier, R^n et R^m ne sont pas homéomorphes si m et n sont distincts.

  • On revoit la convergence uniforme d'une suite de fonctions, et la complétude de certains espaces fonctionnels. On évoque le théorème de relative compacité d'Ascoli ainsi que le théorème de densité de Stone-Weierstrass.

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