ECUE MATH : Topologie

Code de l'ECUE : SLEM501

Ce cours est proposé dans 2 UE

Structure

PORTAIL SCIENCES ET TECHNOLOGIES

Domaine disciplinaire

Mathématiques

Lieu d'enseignement

Campus Valrose

Niveau du cours

Licence 3

Semestre

Semestre impair

Langue

Français

Le cours présente une introduction à la topologie générale.

Clemens Berger

Avant le début du cours, je dois ...

réviser la théorie des ensembles (applications injectives, surjectives, bijectives, images directes, images réciproques) et revoir les espaces vectoriels normés de dimension finie, les notions de convergence de suites et de continuité de fonctions.

A la fin de ce cours, je devrais être capable de...

savoir la définition des espaces métriques et des espaces topologiques et la définition topologique de la continuité, reconnaître espaces compacts et espaces connexes, parties compactes de R^n, utiliser correctement le critère de compacité de Borel-Lebesgue, connaître le critère d'Ascoli de relative compacité d'un ensemble de fonctions.

Espaces métriques et espaces topologiques

Les ouverts et fermés d'un espace métriquesont introduits ainsi que la notion d'espace topologique qui en découle. La continuité d'une fonction est étudiée en comparant la définition classique basée sur la préservation de la convergence avec la définition topologique basée sur la notion d'ouverts.
Espaces complets et espaces compacts

Les suites de Cauchy sont revues avec la notion de complétude. Les espaces compacts et parties compactes sont ensuite introduits en utilisant différents critères (séquentiel, Borel-Lebesgue). Les parties compactes de R^n sont caractérisées. La relation entre complétude et compacité est étudiée (compact=complet+précompact).
Espaces connexes

Les notions de connexité par arcs et de connexités sont introduites, et leur relation mutuelle est discutée.Les composantes connexes d'un espace topologique sont utilisées pour montrer que certains espaces topologiques ne peuvent être homéomorphes. En particulier, R^n et R^m ne sont pas homéomorphes si m et n sont distincts.
Espaces fonctionnels

On revoit la convergence uniforme d'une suite de fonctions, et la complétude de certains espaces fonctionnels. On évoque le théorème de relative compacité d'Ascoli ainsi que le théorème de densité de Stone-Weierstrass.

Important

Ce syllabus n’a aucune valeur contractuelle. Son contenu est susceptible d’évoluer en cours d’année : soyez attentifs aux dernières modifications.